高考数学专题复习课件：12-2古典概型 53页

§12.2 　古典概型 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解古典概型及其概率计算公式 .2. 会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率． 1 ．基本事件的特点 (1) 任何两个基本事件是 ______ 的； (2) 任何事件 ( 除不可能事件 ) 都可以表示成 _________ 的和． 互斥 基本事件 2 ．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1) 有限性：试验中所有可能出现的基本事件 __________ ； (2) 等可能性：每个基本事件出现的可能性 _____ ． 只有有限个 相等 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) “ 在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽 ” 属于古典概型，其基本事件是 “ 发芽与不发芽 ” ． ( 　　 ) (2) 掷一枚硬币两次，出现 “ 两个正面 ”“ 一正一反 ”“ 两个反面 ” ，这三个结果是等可能事件． ( 　　 ) (3) 从市场上出售的标准为 500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) √ 　 (6) √ 【 答案 】 B 【 答案 】 C 【 答案 】 C 4 ．现有某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m ， n ( m ≤ 7 ， n ≤ 9) 可以任意选取，则 m ， n 都取到奇数的概率为 ________ ． 5 ．从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 这 6 个数字中，任取 2 个数字相加，其和为偶数的概率是 ________ ． 题型一　基本事件与古典概型的判断 【 例 1 】 袋中有大小相同的 5 个白球， 3 个黑球和 3 个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球． (1) 有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ (2) 若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ 【 解析 】 (1) 由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号，故共有 11 种不同的摸法． 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型． 【 方法规律 】 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点 —— 有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型． 跟踪训练 1 下列试验中，是古典概型的个数为 ( 　　 ) ① 向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； ② 向正方形 ABCD 内，任意抛掷一点 P ，点 P 恰与点 C 重合； ③ 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是 2 的概率； ④ 在线段 [0 ， 5] 上任取一点，求此点小于 2 的概率． A ． 0 　　　　　　　　　　　　 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【 解析 】 ① 中，硬币质地不均匀，不是等可能事件， 所以不是古典概型． ②④ 的基本事件都不是有限个，不是古典概型． ③ 符合古典概型的特点，是古典概型问题． 【 答案 】 B (2) (2015· 江苏 ) 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球， 1 只红球， 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 ________ ． (3) (2017· 湖北黄冈中学调研 ) 甲、乙两位同学各拿出 4 本书，用作投骰子的奖品．两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得 1 分，否则乙得 1 分，先积 3 分者获胜，将获得所有 8 本书，并结束游戏．比赛开始后，甲积 2 分，乙积 1 分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这 8 本书分配合理的是 ( 　　 ) A ．甲得 6 本，乙得 2 本 B ．甲得 5 本，乙得 3 本 C ．甲得 4 本，乙得 4 本 D ．甲得 7 本，乙得 1 本 【 引申探究 】 1 ．本例 (2) 中，将 4 个球改为颜色相同，标号分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率． 2 ．本例 (2) 中，条件不变改为有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率． 【 方法规律 】 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择． 跟踪训练 2 将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，求： (1) 两数中至少有一个奇数的概率； (2) 以第一次向上的点数为横坐标 x ，第二次向上的点数为纵坐标 y 的点 ( x ， y ) 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 15 的外部或圆上的概率． 【 解析 】 由题意，先后抛掷 2 次，向上的点数 ( x ， y ) 共有 n ＝ 6 × 6 ＝ 36 种等可能结果，为古典概型． 题型三　古典概型与统计的综合应用 【 例 3 】 从某地高中男生中随机抽取 100 名同学，将他们的体重 ( 单位： kg) 数据绘制成频率分布直方图 ( 如图所示 ) ．由图中数据可知体重的平均值为 ________kg ；若要从体重在 [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90] 三组内的男生中，用分层抽样的方法选取 12 人参加一项活动，再从这 12 人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为 ________ ． 【 方法规律 】 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只需能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决． 跟踪训练 3 (2017· 山东济南二模 ) 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表： 由全国重点城市环境监测网获得 2 月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下： (1) 试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系 ( 只需写出结果 ) ； (2) 试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的概率； (3) 分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率． 审题路线图系列 五审细节更完善 【 典例 】 ( 12 分 ) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4. (1) 从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (2) 先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n ，求 n < m ＋ 2 的概率． (2) 先从袋中随机取一个球，记下编号为 m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为 n ，其一切可能的结果有 (1 ， 1) ， (1 ， 2) ， (1 ， 3) ， (1 ， 4) ， (2 ， 1) ， (2 ， 2) ， (2 ， 3) ， (2 ， 4) ， (3 ， 1) ， (3 ， 2) ， (3 ， 3) ， (3 ， 4) ， (4 ， 1) ， (4 ， 2) ， (4 ， 3) ， (4 ， 4) ， 共 16 个． (6 分 ) 【 温馨提醒 】 (1) 本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第 (1) 问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于 4 ，即两球编号之和小于或等于 4 等；第 (2) 问，有先后顺序． (2) 在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第 (1) 问应写成 {1 ， 2} 的形式，表示无序，第 (2) 问写成 (1 ， 2) 的形式，表示有序． (3) 本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第 (2) 问中，由于不能将求事件 n < m ＋ 2 的概率转化成先求 n ≥ m ＋ 2 的概率，导致数据复杂、易错．所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求 . ► 方法与技巧 1 ．古典概型计算三步曲 第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件 A 是什么，它包含的基本事件有多少个． 2 ．确定基本事件的方法 (1) 当基本事件总数较少时，可列举计算； (2) 列表法、树状图法． 3 ．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算． ► 失误与防范 1 ．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的． 2 ．概率的一般加法公式： P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A ∩ B ) ． 公式使用中要注意： (1) 公式的作用是求 A ∪ B 的概率，当 A ∩ B ＝ ∅ 时， A 、 B 互斥，此时 P ( A ∩ B ) ＝ 0 ，所以 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ； (2) 要计算 P ( A ∪ B ) ，需要求 P ( A ) 、 P ( B ) ，更重要的是把握事件 A ∩ B ，并求其概率； (3) 该公式可以看作一个方程，知三可求一 .