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  • 2021-07-01 发布

高考数学专题复习课件:8-5直线、平面垂直的判定与性质

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§8.5  直线、平面垂直的判定与性质 [ 考纲要求 ]   1. 能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理 .2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题. 1 . 直线与平面垂直 (1) 直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 α 内的 _______ 直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直. 任意 (2) 判定定理与性质定理 2. 平面与平面垂直 (1) 平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 __________ ,就说这两个平面互相垂直. 直二面角 (2) 判定定理与性质定理 【 思考辨析 】  判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直,则 l ⊥ α .(    ) (2) 若直线 a ⊥ 平面 α ,直线 b ∥ α ,则直线 a 与 b 垂直. (    ) (3) 直线 a ⊥ α , b ⊥ α ,则 a ∥ b .(    ) (4) 若 α ⊥ β , a ⊥ β ⇒ a ∥ α .(    ) (5) a ⊥ α , a ⊂ β ⇒ α ⊥ β .(    ) (6) 若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. (    ) 【 答案 】 (1) ×   (2) √   (3) √   (4) ×   (5) √   (6) × 1 . ( 教材改编 ) 下列条件中,能判定直线 l ⊥ 平面 α 的是 (    ) A . l 与平面 α 内的两条直线垂直 B . l 与平面 α 内无数条直线垂直 C . l 与平面 α 内的某一条直线垂直 D . l 与平面 α 内任意一条直线垂直 【 解析 】 由直线与平面垂直的定义,可知 D 正确. 【 答案 】 D 2 .设平面 α 与平面 β 相交于直线 m ,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b ⊥ m ,则 “ α ⊥ β ” 是 “ a ⊥ b ” 的 (    ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【 解析 】 若 α ⊥ β ,因为 α ∩ β = m , b ⊂ β , b ⊥ m ,所以根据两个平面垂直的性质定理可得 b ⊥ α ,又 a ⊂ α ,所以 a ⊥ b ;反过来,当 a ∥ m 时,因为 b ⊥ m ,且 a , m 共面,一定有 b ⊥ a ,但不能保证 b ⊥ α ,所以不能推出 α ⊥ β . 【 答案 】 A 3 . (2017· 上海六校联考 ) 已知 m 和 n 是两条不同的直线, α 和 β 是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出 m ⊥ β 的是 (    ) A . α ⊥ β 且 m ⊂ α        B . α ⊥ β 且 m ∥ α C . m ∥ n 且 n ⊥ β D . m ⊥ n , n ⊂ α 且 α ∥ β 【 解析 】 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知 C 正确. 【 答案 】 C 4 . ( 教材改编 ) PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,连接 PB , PC , PA , AC , BD ,则一定互相垂直的平面有 ________ 对. 【 解析 】 由于 PD ⊥ 平面 ABCD ,故平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,平面 PDB ⊥ 平面 ABCD ,平面 PDC ⊥ 平面 ABCD ,平面 PDA ⊥ 平面 PDC ,平面 PAC ⊥ 平面 PDB ,平面 PAB ⊥ 平面 PAD ,平面 PBC ⊥ 平面 PDC ,共 7 对. 【 答案 】 7 5 . ( 教材改编 ) 在三棱锥 P ABC 中,点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O , (1) 若 PA = PB = PC ,则点 O 是 △ ABC 的 ________ 心. (2) 若 PA ⊥ PB , PB ⊥ PC , PC ⊥ PA ,则点 O 是 △ ABC 的 ________ 心. 【 解析 】 (1) 如图 1 ,连接 OA , OB , OC , OP , 在 Rt △ POA 、 Rt △ POB 和 Rt △ POC 中, PA = PC = PB ,所以 OA = OB = OC , 即 O 为 △ ABC 的外心. (2) 如图 2 , ∵ PC ⊥ PA , PB ⊥ PC , PA ∩ PB = P , ∴ PC ⊥ 平面 PAB , AB ⊂ 平面 PAB , ∴ PC ⊥ AB , 又 AB ⊥ PO , PO ∩ PC = P , ∴ AB ⊥ 平面 PGC , 又 CG ⊂ 平面 PGC , ∴ AB ⊥ CG ,即 CG 为 △ ABC 边 AB 的高. 同理可证 BD , AH 为 △ ABC 底边上的高, 即 O 为 △ ABC 的垂心. 【 答案 】 (1) 外  (2) 垂 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 【 例 1 】 (1) (2017· 武汉调研 ) 如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ⊥ 平面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC ⊥ 平面 BDE . 证明: BD ⊥ 平面 PAC . 【 证明 】 ∵ PA ⊥ 平面 ABCD , BD ⊂ 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ BD . ∵ PC ⊥ 平面 BDE , BD ⊂ 平面 BDE , ∴ PC ⊥ BD . 又 ∵ PA ∩ PC = P , ∴ BD ⊥ 平面 PAC . 所以 CD 2 + DB 2 = BC 2 ,即 CD ⊥ AO . 因为 PD ⊥ 平面 ABC , CD ⊂ 平面 ABC , 所以 PD ⊥ CD ,由 PD ∩ AO = D 得, CD ⊥ 平面 PAB , 又 PA ⊂ 平面 PAB ,所以 PA ⊥ CD . 【 方法规律 】 (1) 证明直线和平面垂直的常用方法: ① 判定定理; ② 垂直于平面的传递性 ( a ∥ b , a ⊥ α ⇒ b ⊥ α ) ; ③ 面面平行的性质 ( a ⊥ α , α ∥ β ⇒ a ⊥ β ) ; ④ 面面垂直的性质. (2) 证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3) 线面垂直的性质,常用来证明线线垂直. 跟踪训练 1 (2017· 淄博模拟 ) 如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PD ⊥ 底面 ABCD , PD = DC , E 是 PC 的中点,作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F . (1) 证明: PA ∥ 平面 EDB ; (2) 证明: PB ⊥ 平面 EFD . 【 证明 】 (1) 连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO . ∵ 底面 ABCD 是矩形, ∴ 点 O 是 AC 的中点. 又 ∵ E 是 PC 的中点, ∴ 在 △ PAC 中, EO 为中位线. ∴ PA ∥ EO , 而 EO ⊂ 平面 EDB , PA ⊄ 平面 EDB , ∴ PA ∥ 平面 EDB . (2) 由 PD ⊥ 底面 ABCD ,得 PD ⊥ BC . ∵ 底面 ABCD 是矩形, ∴ DC ⊥ BC ,且 PD ∩ CD = D , ∴ BC ⊥ 平面 PDC ,而 DE ⊂ 平面 PDC , ∴ BC ⊥ DE . ① ∵ PD = DC , E 是 PC 的中点, ∴△ PDC 是等腰三角形,故 DE ⊥ PC . ② 由 ① 和 ② 及 BC ∩ PC = C ,得 DE ⊥ 平面 PBC , 而 PB ⊂ 平面 PBC , ∴ DE ⊥ PB . 又 EF ⊥ PB 且 DE ∩ EF = E , ∴ PB ⊥ 平面 EFD . 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 【 例 2 】 (1) (2017· 济宁模拟 ) 如图 1 ,在四棱锥 P ABCD 中 , PA ⊥ 底面 ABCD ,平面 ABCD 为正方形, E 为侧棱 PD 上一点, F 为 AB 上一点,该四棱锥的正 ( 主 ) 视图和侧 ( 左 ) 视图如图 2 所示. ① 求四面体 PBFC 的体积; ② 证明: AE ∥ 平面 PFC ; ③ 证明:平面 PFC ⊥ 平面 PCD . ③ 证明 ∵ PA ⊥ 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ CD . ∵ 平面 ABCD 为正方形, ∴ AD ⊥ CD . ∴ CD ⊥ 平面 PAD , ∵ AE ⊂ 平面 PAD , ∴ CD ⊥ AE . ∵ PA = AD , E 为 PD 中点, ∴ AE ⊥ PD . CD ∩ PD = D , ∴ AE ⊥ 平面 PCD . ∵ AE ∥ FQ , ∴ FQ ⊥ 平面 PCD . ∵ PQ ⊂ 平面 PFC , ∴ 平面 PFC ⊥ 平面 PCD . (2) (2017· 云南名校联考 ) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E , F 在圆 O 上,且 AB ∥ EF ,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AD = EF = AF = 1 , AB = 2. ① 求证:平面 AFC ⊥ 平面 CBF ; ② 在线段 CF 上是否存在一点 M ,使得 OM ∥ 平面 DAF ?并说明理由. 【 解析 】 ① 证明 ∵ 平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF , CB ⊥ AB , 平面 ABCD ∩ 平面 ABEF = AB , ∴ CB ⊥ 平面 ABEF , ∵ AF ⊂ 平面 ABEF , ∴ AF ⊥ CB , 又 ∵ AB 为圆 O 的直径, ∴ AF ⊥ BF , ∵ CB ∩ BF = B , ∴ AF ⊥ 平面 CBF . ∵ AF ⊂ 平面 AFC , ∴ 平面 AFC ⊥ 平面 CBF . ∴ MNAO 为平行四边形, ∴ OM ∥ AN ,又 AN ⊂ 平面 DAF , OM ⊄ 平面 DAF , ∴ OM ∥ 平面 DAF . 即存在一点 M 为 CF 的中点,使得 OM ∥ 平面 DAF . 【 方法规律 】 面面垂直的性质应用技巧 (1) 两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意 “ 平面内的直线 ” . (2) 两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面,此性质在不是很复杂的题目中,要对此进行证明. 题型三 线面角、二面角的求法 【 例 3 】 如图,在四棱锥 P ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD , AB ⊥ AD , AC ⊥ CD , ∠ ABC = 60 ° , PA = AB = BC , E 是 PC 的中点. (1) 求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (2) 证明: AE ⊥ 平面 PCD ; (3) 求二面角 A PD C 的正弦值. 【 解析 】 (1) 在四棱锥 P ABCD 中, 因为 PA ⊥ 底面 ABCD , AB ⊂ 平面 ABCD , 故 PA ⊥ AB . 又 AB ⊥ AD , PA ∩ AD = A , 从而 AB ⊥ 平面 PAD , 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA , 从而 ∠ APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. 在 Rt △ PAB 中, AB = PA ,故 ∠ APB = 45 ° . 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45 ° . (2) 证明 在四棱锥 P ABCD 中, 因为 PA ⊥ 底面 ABCD , CD ⊂ 平面 ABCD , 故 CD ⊥ PA . 由条件 CD ⊥ AC , PA ∩ AC = A , ∴ CD ⊥ 平面 PAC . 又 AE ⊂ 平面 PAC , ∴ AE ⊥ CD . 由 PA = AB = BC , ∠ ABC = 60 ° ,可得 AC = PA . ∵ E 是 PC 的中点, ∴ AE ⊥ PC . 又 PC ∩ CD = C ,综上得 AE ⊥ 平面 PCD . (3) 过点 E 作 EM ⊥ PD ,垂足为 M ,连接 AM ,如图所示. 由 (2) 知, AE ⊥ 平面 PCD , AM 在平面 PCD 内的射影是 EM , 则可证得 AM ⊥ PD . 因此 ∠ AME 是二面角 A PD C 的平面角. 由已知,可得 ∠ CAD = 30 ° . 设 AC = a ,可得 【 方法规律 】 求线面角、二面角的常用方法: (1) 线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解. (2) 二面角的大小求法:二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有 ① 定义法; ② 垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质. 跟踪训练 3 (2015· 山东 ) 如图,在三棱台 DEF ABC 中, AB = 2 DE , G , H 分别为 AC , BC 的中点. (1) 求证: BD ∥ 平面 FGH . (2) 若 CF ⊥ 平面 ABC , AB ⊥ BC , CF = DE , ∠ BAC = 45 ° ,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角 ( 锐角 ) 的大小. 【 解析 】 (1) 证明 方法一 如图,连接 DG , CD ,设 CD ∩ GF = O ,连接 OH ,在三棱台 DEF ABC 中, AB = 2 DE , G 为 AC 的中点, 可得 DF ∥ GC , DF = GC ,所以四边形 DFCG 为平行四边形. 则 O 为 CD 的中点,又 H 为 BC 的中点, 所以 OH ∥ BD ,又 OH ⊂ 平面 FGH , BD ⊄ 平面 FGH , 所以 BD ∥ 平面 FGH . 方法二 如图,在三棱台 DEF ABC 中,由 BC = 2 EF , H 为 BC 的中点, 可得 BH ∥ EF , BH = EF , 所以四边形 BHFE 为平行四边形,可得 BE ∥ HF . 在 △ ABC 中, G 为 AC 的中点, H 为 BC 的中点, 所以 GH ∥ AB . 又 GH ∩ HF = H ,所以平面 FGH ∥ 平面 ABED . 因为 BD ⊂ 平面 ABED ,所以 BD ∥ 平面 FGH . 方法二 如图,作 HM ⊥ AC 于点 M ,作 MN ⊥ GF 于点 N , 连接 NH . 设 AB = 2 ,则 CF = 1. 由 FC ⊥ 平面 ABC ,得 HM ⊥ FC , 又 FC ∩ AC = C ,所以 HM ⊥ 平面 ACFD . 因此 GF ⊥ NH ,所以 ∠ MNH 即为所求的角. 思想与方法系列 16 立体几何证明问题中的转化思想 【 典例 】 (12 分 ) 如图所示, M , N , K 分别是正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 AB , CD , C 1 D 1 的中点. 求证: (1) AN ∥ 平面 A 1 MK ; (2) 平面 A 1 B 1 C ⊥ 平面 A 1 MK . 【 思维点拨 】 (1) 要证线面平行,需证线线平行. (2) 要证面面垂直,需证线面垂直,要证线面垂直,需证线线垂直. 【 规范解答 】 证明 (1) 如图所示,连接 NK . 在正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中, ∵ 四边形 AA 1 D 1 D , DD 1 C 1 C 都为正方形, ∴ AA 1 ∥ DD 1 , AA 1 = DD 1 , C 1 D 1 ∥ CD , C 1 D 1 = CD .(2 分 ) ∵ N , K 分别为 CD , C 1 D 1 的中点, ∴ DN ∥ D 1 K , DN = D 1 K , ∴ 四边形 DD 1 KN 为平行四边形. (3 分 ) ∴ KN ∥ DD 1 , KN = DD 1 , ∴ AA 1 ∥ KN , AA 1 = KN . ∴ 四边形 AA 1 KN 为平行四边形. ∴ AN ∥ A 1 K .(4 分 ) ∵ A 1 K ⊂ 平面 A 1 MK , AN ⊄ 平面 A 1 MK , ∴ AN ∥ 平面 A 1 MK .(6 分 ) (2) 如上图所示,连接 BC 1 . 在正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中, AB ∥ C 1 D 1 , AB = C 1 D 1 . ∵ M , K 分别为 AB , C 1 D 1 的中点, ∴ BM ∥ C 1 K , BM = C 1 K . ∴ 四边形 BC 1 KM 为平行四边形. ∴ MK ∥ BC 1 .(8 分 ) 在正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中, A 1 B 1 ⊥ 平面 BB 1 C 1 C , BC 1 ⊂ 平面 BB 1 C 1 C , ∴ A 1 B 1 ⊥ BC 1 . ∵ MK ∥ BC 1 , ∴ A 1 B 1 ⊥ MK . ∵ 四边形 BB 1 C 1 C 为正方形, ∴ BC 1 ⊥ B 1 C .(10 分 ) ∴ MK ⊥ B 1 C . ∵ A 1 B 1 ⊂ 平面 A 1 B 1 C , B 1 C ⊂ 平面 A 1 B 1 C , A 1 B 1 ∩ B 1 C = B 1 , ∴ MK ⊥ 平面 A 1 B 1 C . 又 ∵ MK ⊂ 平面 A 1 MK , ∴ 平面 A 1 B 1 C ⊥ 平面 A 1 MK .(12 分 ) 【 温馨提醒 】 (1) 线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理. (2) 线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等. (3) 证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范 . ► 方法与技巧 1 .三类论证 (1) 证明线线垂直的方法 ① 定义:两条直线所成的角为 90 ° ; ② 平面几何中证明线线垂直的方法; ③ 线面垂直的性质: a ⊥ α , b ⊂ α ⇒ a ⊥ b ; ④ 线面垂直的性质: a ⊥ α , b ∥ α ⇒ a ⊥ b . (3) 证明面面垂直的方法 ① 利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ② 判定定理: a ⊂ α , a ⊥ β ⇒ α ⊥ β . 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决. ► 失误与防范 1 .在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 2 .面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可 .