高考理科数学复习练习作业61 10页

题组层级快练(六十一)‎ ‎1．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．4 答案　D 解析　∵椭圆过(－2，)，则有＋＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝2，2c＝4.故选D.‎ ‎2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，b＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　)‎ A．10 B．12‎ C．16 D．20‎ 答案　D 解析　如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又 e＝＝，即c＝a，∴a2－c2＝a2＝b2＝16.∴a＝5，△ABF2的周长为20.‎ ‎3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋y2＝1 D.＋＝1‎ 答案　A 解析　圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝16.‎ 知其半径r＝4，∴长轴长2a＝4，∴a＝2.‎ 又e＝＝，∴c＝1，b2＝a2－c2＝4－1＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎4．已知曲线C上的动点M(x，y)，向量a＝(x＋2，y)和b＝(x－2，y)满足|a|＋|b|＝6，则曲线C的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　因为|a|＋|b|＝6表示动点M(x，y)到两点(－2，0)和(2，0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆且长轴长2a＝6，即a＝3.又c＝2，∴e＝.‎ ‎5．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为(　　)‎ A．3 B．3或 C. D.或 答案　B 解析　若焦点在x轴上，则有∴m＝3.‎ 若焦点在y轴上，则有∴m＝.‎ ‎6．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　B 解析　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．‎ ‎7．(2017·河北邯郸一模)已知P是椭圆＋＝1(0b>0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以根据椭圆的定义可得2a＝10⇒a＝5，则c＝＝4，e＝＝，故选B.‎ ‎10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A.－1 B．2－ C. D. 答案　A 解析　由题意知∠F1MF2＝，|MF2|＝c，|F1M|＝2a－c，则c2＋(2a－c)2＝4c2，e2＋2e－2＝0，解得e＝－1.‎ ‎11．(2017北京丰台期末)若F(c，0)为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，椭圆C与直线＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点在直线x＝c上，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　因为直线＋＝1在x，y轴上的截距分别为a，b，所以A(a，0)，B(0，b)．又线段AB的中点在直线x＝c上，所以c＝，即e＝＝.‎ ‎12．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)‎ A．[，1) B．[，]‎ C．[，1) D．(0，]‎ 答案　C 解析　设P(x，y)，则|PF2|＝a－ex，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则|PF2|＝|F1F2|，∴a－ex＝2c，∴x＝＝.∵－a≤x≤a，∴≤a，∴≥，∴≤e<1.故椭圆C的离心率的取值范围是[，1)．‎ ‎13．(2017·上海市十三校联考)若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________．‎ 答案　4或8‎ 解析　①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.‎ ‎14．(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．‎ 答案　(x－)2＋y2＝ 解析　设圆心为(a，0)(a>0)，则半径为4－a，则(4－a)2＝a2＋22，解得a＝，故圆的方程为(‎ x－)2＋y2＝.‎ ‎15．(2016·课标全国Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．‎ 答案　 解析　设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M(－c，m－)，(0，)和B(a，0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝.‎ ‎16.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.‎ ‎(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；‎ ‎(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．‎ 答案　(1)　(2)＋＝1‎ 解析　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．‎ 所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.‎ ‎(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由＝2，解得x＝，y＝－.‎ 代入＋＝1，得＋＝1.即＋＝1，解得a2＝3.所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎17．(2014·新课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.‎ 答案　(1)　(2)a＝7，b＝2 解析　(1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.‎ 将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.‎ ‎(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点．故＝4，即b2＝4a.①‎ 由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.‎ 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即 代入C的方程，得＋＝1.②‎ 将①及c＝代入②得＋＝1.‎ 解得a＝7，b2＝4a＝28.‎ 故a＝7，b＝2.‎ ‎1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则该椭圆方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 答案　D 解析　∵2a＝12，＝，∴a＝6，c＝2，b2＝32.∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎2．(2014·大纲全国)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1　　　　　 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 答案　A 解析　利用椭圆的定义及性质列式求解．‎ 由e＝，得＝①.又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.‎ ‎3．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)‎ A．－21　　　　　　　　 B．21‎ C．－或21 D.或21‎ 答案　C 解析　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝.由＝，即＝，得k＝－；‎ 若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝.由＝，即＝，解得k＝21.‎ ‎4．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m的值为(　　)‎ A. B. C．2 D．4‎ 答案　A 解析　将原方程变形为x2＋＝1.‎ 由题意知a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1.∴＝2，∴m＝.‎ ‎5．(2016·北京海淀期末练习)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由椭圆方程知c＝＝1，所以F1(－1，0)，F2(1，0)．因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y02＝，所以y0＝±.‎ 设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，‎ 所以·＝y1y0.‎ 因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，·的最大值为.故B正确．‎ ‎6．如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－2，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 答案　B 解析　设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．‎ 由F(－2，0)，得c＝2.由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF.‎ 在Rt△PFF1中，由勾股定理，得|PF1|＝＝＝8.‎ 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎7．(2017·贵州兴义第八中学第四次月考)设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)两个交点的横坐标是－c，c，所以两个交点分别为(－c，－c)，(c，c)，代入椭圆得＋＝1，两边同乘2a2b2，则c2(2b2＋a2)＝2a2b2.‎ 因为b2＝a2－c2，所以c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，所以＝2或.又因为0b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B．2－ C.－2 D.－ 答案　D 解析　设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋m，即m＝(4－2)a，则|AF2|＝2a－m＝(2－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，即有c2＝(9－6)a2，即c＝(－a，即e＝＝－，故选D.‎ ‎9．(2013·辽宁)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________．‎ 答案　 解析　如图所示．‎ 根据余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，即|BF|2－16|BF|＋64＝0，得|BF|＝8.‎ 又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB|·|BF|cos∠ABF，得|OF|＝5.‎ 根据椭圆的对称性|AF|＋|BF|＝2a＝14，得a＝7.‎ 又|OF|＝c＝5，故离心率e＝.‎ ‎10．(2017·山西协作体)若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C的内接正方形的面积为________．‎ 答案　 解析　由已知得，a＝1，b＝c＝，所以椭圆C的方程为x2＋＝1，设A(x0，y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x0＝y0，所以1＝x02＋2y02＝3x02，解得x02＝，所以椭圆C的内接正方形的面积S＝(2x0)2＝4x02＝.‎ ‎11．已知P是椭圆＋＝1上的一点，求点P到点M(m，0)(m>0)的距离的最小值．‎ 答案　①0