2020年高中数学第一章导数及其应用1 7页

‎1.3.1‎‎ 函数的单调性与导数 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．函数f(x)＝的递减区间为(　　)‎ A．(3，＋∞) B．(－∞，2)‎ C．(－∞，2)和(2,3) D．(2,3)和(3，＋∞)‎ 解析：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．‎ f′(x)＝＝.‎ 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，‎ 所以ex>0，(x－2)2>0.‎ 由f′(x)<0得x<3.‎ 又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．‎ 答案：C ‎2．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≥3 B．a＝3‎ C．a≤3 D．00，得x>，‎ 7‎ 令y′<0，得0‎2f(1)‎ 解析：由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥‎2f(1)．‎ 答案：C ‎5.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是(　　)‎ 解析：由已知图象可知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)上递增；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,2)上递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(2，＋∞)上递增．‎ 答案：C ‎6．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)在R上是增函数，则a，b，c的关系式为________．‎ 解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立，‎ 则，得a＞0，且b2≤‎3ac.‎ 答案：a＞0且b2≤‎‎3ac ‎7．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．‎ 解析：函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，‎ 令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1＜0，得x＜，‎ ‎∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．‎ 答案：(－∞，－1)‎ ‎8．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．‎ 解析：f′(x)＝－x＋，‎ ‎∵f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴b≤x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立．‎ 7‎ 又x∈(－1，＋∞)时，x(x＋2)>－1，‎ ‎∴b≤－1.‎ 答案：(－∞，－1]‎ ‎9．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的单调区间．‎ 解析：(1)由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知f′(－1)＝－，‎ 且－1＋‎2f(－1)＋5＝0，‎ 即f(－1)＝－2，＝－2，①‎ 又f′(x)＝，‎ 所以＝－.②‎ 由①②得a＝2，b＝3.‎ ‎(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)‎ 所以所求函数的解析式是f(x)＝.‎ ‎(2)f′(x)＝，‎ 令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋‎ ‎2，则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0；当3－20.‎ ‎∴f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)；单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．‎ ‎10．设函数f(x)＝ax3＋(‎2a－1)x2－6x(a∈R)，若函数f(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，求实数a的取值范围．‎ 解析：f′(x)＝3ax2＋3(‎2a－1)x－6＝3(ax－1)(x＋2)．‎ ‎(1)若a＝0，则f′(x)＝－3(x＋2)>0⇒x<－2，此函数在(－∞，－2)上单调递增，从而在(－∞，－3)上单调递增，满足条件．‎ ‎(2)若a≠0，则令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝，‎ 因为f(x)在(－∞，－3)上是增函数，即x<－3时 7‎ f′(x)>0恒成立，a>0时，则－2>－3恒成立，即a>0.‎ a<0时，不合题意．‎ 综上所述，实数a的取值范围是[0，＋∞)．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,0] B．[－1，＋∞)‎ C．[0,3] D．[3，＋∞)‎ 解析：∵f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数．‎ ‎∴f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，‎ 即a≥－2x.‎ ‎∵函数y＝x－2与函数y＝－2x在上为减函数，‎ ‎∴a≥4－2×＝3.‎ 答案：D ‎2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)‎ A．(－1,1) B．(－1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)‎ 解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，‎ 则m′(x)＝f′(x)－2＞0，‎ ‎∴m(x)在R上是增函数．‎ ‎∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，‎ ‎∴m(x)＞0的解集为，‎ 即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)．‎ 答案：B ‎3．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．‎ 解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝4x－＝.‎ 由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；由f′(x)<0，得函数f(x 7‎ ‎)的单调递减区间为(0，)．‎ 由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，‎ 所以，解得1≤k<.‎ 答案：1≤k< ‎4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c的最大值为________．‎ 解析：由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0在[－1,2]上恒成立，得 ⇒⇒‎ 以下有两种方法．‎ 解法一：设b＋c＝x(2b－c)＋y(4b＋c)，‎ 即b＋c＝(2x＋4y)b＋(－x＋y)c，‎ 令解得 所以b＋c＝－(2b－c)＋(4b＋c)‎ ‎≤－×3＋×(－12)‎ ‎＝－，‎ 当且仅当2b－c＝3,4b＋c＝－12，即b＝－，c＝－6时，等号成立，‎ 所以b＋c的最大值为－.‎ 解法二：建立平面直角坐标系bOc，作出可行域，如图，解 得两直线l1：2b－c＝3与l2：4b＋c＝‎ ‎－12的交点坐标A，‎ 令b＋c＝m，则c＝－b＋m为平行线组，‎ 易知平行线组c＝－b＋m经过点A时，‎ 7‎ mmax＝b＋c＝－.‎ 答案：－ ‎5．已知函数y＝a x与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．‎ 解析：因为函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，‎ 所以a<0，b<0.‎ 由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.‎ 令y′>0，得3ax2＋2bx>0，‎ 所以－0.‎ 所以在(－∞，－)，(0，＋∞)上函数为减函数．‎ ‎6．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e－x(x∈R，e为自然对数的底数)‎ ‎(1)若函数f(x)在(－1,1)内单调递减，求a的取值范围．‎ ‎(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．‎ 解析：(1)因为f(x)＝(－x2＋ax)e－x，所以f′(x)＝[x2－(a＋2)x＋a]e－x，‎ 要使f(x)在(－1,1)上单调递减，则f′(x)≤0对一切x∈(－1,1)都成立，‎ 即x2－(a＋2)x＋a≤0对x∈(－1,1)都成立，‎ 令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，则⇒解得a≤－.‎ 所以a的取值范围是.‎ ‎(2)①若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对 x∈R都成立，‎ 即[x2－(a＋2)x＋a]e－x≤0对x∈R都成立，从而x2－(a＋2)x＋a≤0对x∈R都成立，‎ 令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，抛物线y＝g(x)开口向上，不可能对x∈R，g(x)≤0都成立．‎ ‎②若函数f(x)在R上单调递增，‎ 则f′(x)≥0对x∈R都成立，‎ 7‎ 从而x2－(a＋2)x＋a≥0对x∈R都成立，‎ 由于Δ＝(a＋2)2－‎4a＝a2＋4>0，‎ 故f′(x)≥0不能对一切x∈R都成立，‎ 综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数.‎ 7‎