高中数学（人教版必修2）配套练习 第四章章末检测 4页

章末检测 一、选择题 1．方程 x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0 表示的图形是 ( ) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) 2．点 P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2 的位置关系为 ( ) A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与 m 的值有关 3．空间直角坐标系中，点 A(－3,4,0)和 B(x，－1,6)的距离为 86，则 x 的值为 ( ) A．2 B．－8 C．2 或－8 D．8 或－2 4．若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 5．设 A、B 是直线 3x＋4y＋2＝0 与圆 x2＋y2＋4y＝0 的两个交点，则线段 AB 的垂直平分线 的方程是 ( ) A．4x－3y－2＝0 B．4x－3y－6＝0 C．3x＋4y＋6＝0 D．3x＋4y＋8＝0 6．圆 x2＋y2－4x＝0 过点 P(1， 3)的切线方程为 ( ) A．x＋ 3y－2＝0 B．x＋ 3y－4＝0 C．x－ 3y＋4＝0 D．x－ 3y＋2＝0 7．对任意的实数 k，直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＝2 的位置关系一定是 ( ) A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 8．已知圆 O：x2＋y2＝5 和点 A(1,2)，则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形 的面积为 ( ) A．5 B．10 C.25 2 D.25 4 9．将直线 2x－y＋λ＝0 沿 x 轴向左平移 1 个单位，所得直线与圆 x2＋y2＋2x－4y＝0 相切， 则实数λ的值为 ( ) A．－3 或 7 B．－2 或 8 C．0 或 10 D．1 或 11 10．已知圆 C：x2＋y2－4x＝0，l 是过点 P(3,0)的直线，则 ( ) A．l 与 C 相交 B．l 与 C 相切 C．l 与 C 相离 D．以上三个选项均有可能 11．若直线 mx＋2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始终平分圆 x2＋y2－4x－2y－4＝0 的周长，则 mn 的取值范围是 ( ) A．(0,1) B．(0，－1) C．(－∞，1) D．(－∞，－1) 12．过点 P(－2,4)作圆 O：(x－2)2＋(y－1)2＝25 的切线 l，直线 m：ax－3y＝0 与直线 l 平行， 则直线 l 与 m 的距离为 ( ) A．4 B．2 C.8 5 D.12 5 二、填空题 13．与直线 2x＋3y－6＝0 关于点(1，－1)对称的直线方程为________． 14．过点 P(－2,0)作直线 l 交圆 x2＋y2＝1 于 A、B 两点，则|PA|·|PB|＝________. 15．若垂直于直线 2x＋y＝0，且与圆 x2＋y2＝5 相切的切线方程为 ax＋2y＋c＝0，则 ac 的值 为________． 16．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－8x＋15＝0，若直线 y＝kx－2 上至少 存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是________． 三、解答题 17．自点 A(－3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆 x2＋y2 －4x－4y＋7＝0 相切，求光线 l 所在直线的方程． 18． 已知圆 x2＋y2＋x－6y＋m＝0 与直线 x＋2y－3＝0 相交于 P，Q 两点，O 为原点，若 OP⊥OQ，求实数 m 的值． 19．已知圆 x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)． (1)求证：不论 m 为何值，圆心在同一直线 l 上； (2)与 l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离； (3)求证：任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．如图，已知圆 O：x2＋y2＝1 和定点 A(2,1)，由圆 O 外一点 P(a，b 向圆 O 引切线 PQ，切点为 Q， 且有|PQ|＝|PA|. (1)求 a、b 间关系； (2)求|PQ|的最小值； (3)以 P 为圆心作圆，使它与圆 O 有公共点，试在其中求出半径最 小的圆的方程． 答案 章末检测 1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．C 12．A 13．2x＋3y＋8＝0 14．3 15．±5 16.4 3 17．解 如图所示，已知圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0 关于 x 轴对称的 圆为 C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心 C1 的坐标为(2，－2)，半径 为 1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆 C1 相切．设 l 的方程为 y－3＝k(x＋3)， 即 kx－y＋3＋3k＝0. 则|5k＋5| 1＋k2 ＝1，即 12k2＋25k＋12＝0. ∴k1＝－4 3 ，k2＝－3 4. 则 l 的方程为 4x＋3y＋3＝0 或 3x＋4y－3＝0. 18．解 设 P，Q 两点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，由 OP⊥OQ 可得 x1x2＋y1y2＝0， 由 x2＋y2＋x－6y＋m＝0， x＋2y－3＝0， 可得 5y2－20y＋12＋m＝0.① 所以 y1y2＝12＋m 5 ，y1＋y2＝4. 又 x1x2＝(3－2y1)(3－2y2) ＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2 ＝9－24＋4 5(12＋m)， 所以 x1x2＋y1y2＝9－24＋4 5(12＋m)＋12＋m 5 ＝0， 解得 m＝3. 将 m＝3 代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知 m＝3 满足题意，即 3 为所 求 m 的值． 19．(1)证明 配方得：(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，设圆心为(x，y)， 则 x＝3m y＝m－1 ， 消去 m 得 x－3y－3＝0， 则圆心恒在直线 l：x－3y－3＝0 上． (2)解 设与 l 平行的直线是 l1：x－3y＋b＝0， 则圆心到直线 l1 的距离为 d＝|3m－3m－1＋b| 10 ＝|3＋b| 10 . ∵圆的半径为 r＝5， ∴当 dr，即 b<－5 10－3 或 b>5 10－3 时，直线与圆相离． (3)证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l1：x－3y＋b＝0，由于圆心到直线 l1 的 距离 d＝|3＋b| 10 ， 弦长＝2 r2－d2且 r 和 d 均为常量． ∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．解 (1)连接 OQ、OP，则△OQP 为直角三角形， 又|PQ|＝|PA|， 所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|PA|2， 所以 a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故 2a＋b－3＝0. (2)由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－ 12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8， 得|PQ|min＝2 5 5 . (3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点，半径最小时为与圆 O 相切的情形，而这些半径的 最小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径，圆心 P 为过原点且与 l 垂直的直线 l′ 与 l 的交点 P0，所以 r＝ 3 22＋12 －1＝3 5 5 －1， 又 l′：x－2y＝0，联立 l：2x＋y－3＝0 得 P0(6 5 ，3 5)． 所以所求圆的方程为 (x－6 5)2＋(y－3 5)2＝(3 5 5 －1)2.