2021版高考数学一轮复习第十二章计数原理、概率、随机变量及其分布12-4古典概型、几何概型课件理北师大版 29页

第四节　古典概型、几何概型 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 古典概型 具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型 . (1) 有限性 : 试验的所有可能结果 ___________, 每次试验只出现其中的一个结果 . (2) 等可能性 : 每个试验结果出现的可能性 _____. 只有有限个 相同 2. 古典概型的概率公式 如果试验的所有可能结果 ( 基本事件 ) 数为 n, 随机事件 A 包含的基本事件数为 m, 那么事件 A 的概率规定为 P(A)=_______________________=___. 3. 模拟方法 对于某些无法确切 知道概率的问题 , 常借助 _________ 来估计某些随机事件发生 的概率 . 用 _________ 可以在短时间内完成大量的重复试验 . 模拟方法 模拟方法 4. 几何概型 (1) 向平面上有限区域 ( 集合 )G 内随机地投掷点 M, 若点 M 落在 ____________ 的概 率与 G 1 的 _____ 成正比 , 而与 G 的 _____ 、 _____ 无关 , 即 P( 点 M 落在 G 1 )=__________, 则称这种模型为几何概型 . (2) 几何概型中的 G 也可以是 _______ 或 _______ 的有限区域 , 相应的概率是 _____ _____ 或 _________. 子区域 G 1 G 面积 形状 位置 空间中 直线上 体积 之比 长度之比 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1)“ 在适宜条件下 , 种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型 , 其基本事 件是“发芽与不发芽” . ( 　　 ) (2) 掷一枚硬币两次 , 出现“两个正面”“一正一反”“两个反面” , 这三个结 果是等可能事件 . ( 　　 ) (3) 有 3 个兴趣小组 , 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组 , 每位同学参加各 个小组的可能性相同 , 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 . ( 　　 ) (4) 几何概型中 , 每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点 , 该区域中的每一点被取到的机会相等 . ( 　　 ) (5) 随机地从集合 C: 内取点 , 则这个点恰好落在圆 x 2 +y 2 =1 内的概率为 1, 所以这个事件是必然事件 , 这个点恰好落在圆 x 2 +y 2 =1 上的概率为 0, 所以这个事件是不可能事件 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 因为一粒种子发芽的概率与不发芽的概率不一定相等 , 所以不是古 典概型 . (2)×. 因为一正一反有两个结果 ,( 正 , 反 ),( 反 , 正 ), 所以两个正面 , 两个反面是 等可能事件 , 一正一反与两个正面 , 两个反面不是等可能事件 . (3)√. 设三个小组为 1,2,3, 甲、乙两个人参加其中一个 , 有 ( 甲 1, 乙 1),( 甲 1, 乙 2),( 甲 1, 乙 3),( 甲 2, 乙 1),( 甲 2, 乙 2),( 甲 2, 乙 3),( 甲 3, 乙 1),( 甲 3, 乙 2),( 甲 3, 乙 3), 共 9 种结果 , 其中甲、乙参加一个小组的有 ( 甲 1, 乙 1),( 甲 2, 乙 2),( 甲 3, 乙 3), 共 3 个结果 , 所以所求的概率为 (4)√. 根据几何概型的意义 , 判断正确 . (5)×. 基本事件空间的度量是这个圆的面积 , 事件“这个点恰好落在圆 x 2 +y 2 =1 内”对应的度量也是这个圆的面积 , 所以它的概率为 1, 但不是必然事件 , 因为有可能落在圆上 , 事件“这个点恰好落在圆 x 2 +y 2 =1 上”对应的图形是这个圆 ( 圆周 ), 它的面积为 0, 所以它的概率为 0, 但不是不可能事件 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 基本事件空间错误或者空间中的元素个数错误 考点一、 T1 2 古典概型中事件包含的基本事件个数错误 考点一、 T2 3 几何概型中基本事件空间的度量 ( 长度、面积、体积 ) 错误或者计算错误 考点二、 T1,2,3 4 综合问题中读取信息不全面或者计算错误 考点三、角度 1, 角度 2, 角度 3 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 3P134 练习 T1 改编 ) 把一颗骰子投掷两次 , 观察出现的点数 , 并记第一次出现的点数为 a, 第二次出现的点数为 b, 向量 m =(a,b), n =(1,2), 则向量 m 与向量 n 不共线的概率是 ( 　　 ) 【解析】 选 B. 若 m 与 n 共线 , 则 2a-b=0. 而 (a,b) 的可能情况为 6×6=36 个 . 符合 2a=b 的有 (1,2),(2,4),(3,6) 共三个 , 故共线的概率是 , 从而不共线的概率是 1- 2.( 必修 3P135 例 2 改编 ) 盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球 , 其中红色球 3 个 , 黄色球 2 个 . 若从中随机取出 2 个球 , 则所取出的 2 个球颜色不同的概率为 　　　　 .  【解析】 设红球为 A 1 ,A 2 ,A 3 , 黄球为 B 1 ,B 2 , 共有 :A 1 A 2 ,A 1 A 3 ,A 1 B 1 ,A 1 B 2 , A 2 A 3 ,A 2 B 1 ,A 2 B 2 ,A 3 B 1 ,A 3 B 2 ,B 1 B 2 10 种 , 其中不同色的有 6 种 ,P= 答案 : 3.( 必修 3P153A 组 T2 改编 ) 一个路口的红绿灯 , 红灯的时间为 30 s, 黄灯的时间为 5 s, 绿灯的时间为 40 s, 当某人到达路口时能直接通过的概率是 ( 　　 ) 【解析】 选 C. 设事件 A 表示“某人到达路口时能直接通过”即“该人到达路口 遇到绿灯” , 则事件 A 对应 40 s 的时间长度 , 而路口红绿灯亮的一个周期为 30+5+40=75(s) 的时间长度 . 根据几何概型的概率公式可得 , 事件 A 发生的概率 P(A)= 4.( 必修 3P152 思考交流改编 ) 假设某人订了一份牛奶 , 送奶人在早上 6:00-7:00 之间随机地把牛奶送到他家 , 而他在早上 6:30-7:30 之间随机地离家上学 , 则他在离开家前能收到牛奶的概率是 　　　　 .  【解析】 设送奶人到达的时间为 x, 订奶人离家的时间为 y, 以横坐标表示牛奶送到时间 , 以纵坐标表示订奶人离家时间 , 建立平面直角坐标系 ( 如图 ) 则订奶人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图所示 . 所以所求概率 P=1- 答案 : 思想方法　分类讨论思想在古典概型与几何概型中的应用　   【典例】 某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏 , 受到大家的一致追捧 . 游戏规则如下 : 游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子 , 记第 i 次得到的点数为 x i , 若存在正整数 n, 使得 x 1 +x 2 +…+x n =6, 则称正整数 n 为游戏参与者的幸运数字 . (1) 求游戏参与者的幸运数字为 1 的概率 ; (2) 求游戏参与者的幸运数字为 2 的概率 . 【解析】 (1) 设“游戏参与者的幸运数字为 1” 为事件 A, 由题意知 x 1 =6, 抛掷了 1 次骰子 , 相应的基本事件空间为 Ω A ={1,2,3,4,5,6}, 共有 6 个基本事件 , 而 A={6}, 只有 1 个基本事件 , 所以 P(A)= . (2) 设“游戏参与者的幸运数字为 2” 为事件 B, 由题意知 x 1 +x 2 =6, 抛掷了 2 次骰子 , 相应的基本事件空间为 Ω B ={ |1≤x 1 ≤6,1≤x 2 ≤6,x 1 ∈N,x 2 ∈N} 共有 36 个基本事件 , 而 B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}, 共有 5 个基本事件 , 所 以 P(B)= 【思想方法指导】 (1) 先确定基本事件空间 , 再确定事件 A 包含的基本事件个数 , 最后代入概率公式求解 . (2) 先按照 x 1 的取值分成六类 : x 1 =1,x 2 =1,2,3,4,5,6, x 1 =2,x 2 =1,2,3,4,5,6, x 1 =3,x 2 =1,2,3,4,5,6, x 1 =4,x 2 =1,2,3,4,5,6, x 1 =5,x 2 =1,2,3,4,5,6, x 1 =6,x 2 =1,2,3,4,5,6, 从而确定基本事件空间中的元素个数为 36. 【迁移应用】 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个 , 其中标号为 0 的小球 1 个 , 标号为 1 的 小球 1 个 , 标号为 2 的小球 n 个 . 已知从袋子中随机抽取 1 个小球 , 取到标号是 2 的 小球的概率是 . (1) 求 n 的值 . (2) 从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球 , 记第一次取出的小球标号为 a, 第二次取出的小球标号为 b. ① 记事件 A 表示“ a+b=2”, 求事件 A 的概率 ; ② 在区间 [ 0,2] 内任取 2 个实数 x,y, 求事件“ x 2 +y 2 >(a-b) 2 恒成立”的概率 . 【解析】 (1) 由题意可知 : 解得 n=2. (2)① 不放回地随机抽取 2 个小球的所有基本事件为 : (0,1),(0,2 1 ),(0,2 2 ),(1,0),(1,2 1 ),(1,2 2 ),(2 1 ,0),(2 1 ,1),(2 1 ,2 2 ),(2 2 ,0), (2 2 ,1),(2 2 ,2 1 ) 共 12 个 , 事件 A 包含的基本事件为 : (0,2 1 ),(0,2 2 ),(2 1 ,0),(2 2 ,0) 共 4 个 . 所以 P(A)= ② 记“ x 2 +y 2 >(a-b) 2 恒成立”为事件 B, 则事件 B 等价于“ x 2 +y 2 >4”,(x,y) 可以看成平面中的点 , 则全部结果所构成的区域 而事件 B 所构成的区域 所以 P(B)=