山东专用2021版高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 37页

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第一讲　分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m 1 种不同的方法，在第二类方案中有 m 2 种不同的方法， …… ，在第 n 类方案中有 m n 种不同的方法，则完成这件事共有 N ＝ __ _ __ _ ______ _ __ _ __ 种不同的方法． 知识点二　分步乘法计数原理 完成一件事需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m 1 种不同的方法，完成第二步有 m 2 种不同的方法， …… ，完成第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ __ _ __ _ __ _ __ 种不同的方法． m 1 ＋ m 2 ＋ … ＋ m n 　 m 1 · m 2 … m n 　 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对 “ 分类 ” 问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对 “ 分步 ” 问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 题组一　走出误区 1 ． ( 多选题 ) 下列结论正确的是 ( 　　　 ) A ．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 B ．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 C ．在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 D ．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 BCD 题组二　走进教材 2 ． (P 10 练习 T4) 已知某公园有 4 个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为 ( 　　 ) A ． 16 B ． 13 C ． 12 D ． 10 C 　 3 ． ( 教材习题改编 ) 从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中，任取两个不同数字，①其和为偶数的不同取法种数为 _____ ；② 能排成的两位偶数的个数为 ______ ． [ 解析 ] 　 ① 和为偶数的取法可分为两类：取两奇数或取两偶数，各有 3 种取法，故共有 6 种取法； ② 排成的两位偶数可分成三类：个位是 0 或 2 或 4 ，显然个位为 0 的有 5 个，个位为 2 或 4 的各有 4 个，故共有 13 个． 6 　 13 　 题组三　考题再现 4 ． (2020 · 山东济宁模拟 ) 6 人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘 4 人，则不同的乘车方案数为 ( 　　 ) A ． 70 B ． 60 C ． 50 D ． 40 C 　 5 ． (2019 · 上海普陀区模拟 ) 2019 年上海春季高考有 8 所高校招生，如果某 3 位同学恰好被其中 2 所高校录取，那么录取方法的种数为 _______ ． 168 　 考点突破 • 互动探究 　　　　 (1) (2020 · 常州模拟 ) 已知 I ＝ {1,2,3} ， A ， B 是集合 I 的两个非空子集，且 A 中所有元素的和大于 B 中所有元素的和，则集合 A ， B 共有 ( 　　 ) A ． 12 对 B ． 15 对 C ． 18 对 D ． 20 对 考点一　分类加法计数原理 —— 自主练透 D 　 例 1 (2) (2019 · 承德调研 ) a ， b ， c ， d ， e 共 5 个人，从中选 1 名组长， 1 名副组长，但 a 不能当副组长，不同选法的种数是 ( 　　 ) A ． 20 B ． 16 C ． 10 D ． 6 (3) (2019 · 合肥模拟 ) 现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为 ( 　　 ) A ． 36 B ． 9 C ． 18 D ． 15 B 　 B 　 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置． (1) 根据题目特点恰当选择一个分类标准． (2) 分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复． (3) 分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏． 　　　　 (1) 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( 　　 ) A ． 24 B ． 18 C ． 12 D ． 9 (2) 有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有 _______ 种不同的报名方法． 考点二　分步乘法计数原理 —— 师生共研 B 　 例 2 120 　 [ 解析 ] 　 (1) 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 条，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 条，所以从 E 点到 G 点的最短路径有 6 × 3 ＝ 18( 条 ) ，故选 B ． (2) 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 6 × 5 × 4 ＝ 120( 种 ) ． [ 引申 1] 本例 (2) 中若将条件 “ 每项限报一人，且每人至多参加一项 ” 改为 “ 每人恰好参加一项，每项人数不限 ” ，则有多少种不同的报名方法 [ 解析 ] 　 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 3 6 ＝ 729( 种 ) ． [ 引申 2] 本例 (2) 中若将条件 “ 每项限报一人，且每人至多参加一项 ” 改为 “ 每项限报一人，但每人参加的项目不限 ” ，则有多少种不同的报名方法？ [ 解析 ] 　 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 6 3 ＝ 216( 种 ) ． [ 引申 3] 本例 (1) 中若去掉 “ 先到 F 处与小红会合 ” ，则最短路径的条数为 ______ ． 35 　 (1) 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． (2) 分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成． 〔 变式训练 2 〕 (1) (2019 · 厦门模拟 ) 从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 ______ 种 ( 用数字作答 ) ． (2) (2019 · 山东省日照市模拟 ) 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是 ( 　　 ) A ． 210 B ． 84 C ． 343 D ． 336 36 　 D 　 角度 1 　与数字有关的问题 　　　　 (2019 · 四川省自贡市诊断 ) 从 1,3,5 三个数中选两个数字，从 0,2 两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ( 　　 ) A ． 6 B ． 12 C ． 18 D ． 24 C 　 例 3 考点三　两个计数原理的综合应用 —— 多维探究 角度 2 　与涂色有关的问题 　　　　将一个四棱锥的每个顶点染上 1 种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有 4 种颜色可供使用，则不同的染色方法有 ( 　　 ) A ． 48 种 B ． 72 种 C ． 96 种 D ． 108 种 B 　 例 4 [ 解析 ] 　 如图所示，若点 B 与 D 处所染颜色相同，则不同的染色方法有 4 × 3 × 2 × 2 ＝ 48 种；若点 B 与 D 处所染颜色不相同，则不同的染色方法有 4 × 3 × 2 × 1 × 1 ＝ 24 种，由分类加法计数原理可知不同的染色方法有 48 ＋ 24 ＝ 72 种． 角度 3 　与几何有关的问题 　　　　如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个 “ 正交线面对 ” ．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “ 正交线面对 ” 的个数是 ( 　　 ) A ． 48 B ． 18 C ． 24 D ． 36 [ 解析 ] 　 第 1 类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成 “ 正交线面对 ” ，这样的 “ 正交线面对 ” 有 2 × 12 ＝ 24( 个 ) ；第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成 “ 正交线面对 ” ，这样的 “ 正交线面对 ” 有 12 个．所以正方体中 “ 正交线面对 ” 共有 24 ＋ 12 ＝ 36( 个 ) ． D 　 例 5 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 1 ． 弄清完成一件事是做什么． 2 ．确定是先分类后分步，还是先分步后分类． 3 ．弄清分步、分类的标准是什么． 4 ．利用两个计数原理求解． 注意： (1) 相同元素不加区分； (2) 数字问题中 0 不能排在数的首位． 〔 变式训练 2 〕 (1) ( 角度 2) (2019 · 宁波模拟 ) 如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 ( 　　 ) A ． 24 种 B ． 48 种 C ． 72 种 D ． 96 种 C 　 (2) ( 角度 1) (2019 · 重庆巴蜀中学模拟 ) 由数字 0,1,2,3 组成的无重复数字的 4 位数，比 2018 大的有 ( 　　 ) 个 ( 　　 ) A ． 10 B ． 11 C ． 12 D ． 13 (3) ( 角度 3) 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个 “ 平行线面组 ” ．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “ 平行线面组 ” 的个数是 ( 　　 ) A ． 60 B ． 48 C ． 36 D ． 24 B 　 B 　 [ 解析 ] 　 (1) ∴ 不同的涂色方法共有 4 × 3 × 2 × 1 × (2 ＋ 1) ＝ 72( 种 ) ，故选 C ． (2) 千位数字为 3 时满足题意的数字个数为： 3 ！＝ 6. 千位数字为 2 时，只有 2 013 不满足题意，则满足题意的数字的个数为 3 ！－ 1 ＝ 5 ， 综上可得 ： 2 018 大的有 6 ＋ 5 ＝ 11 个 ． (3) 长方体的 6 个表面构成的 “ 平面线面组 ” 的个数为 6 × 6 ＝ 36 ， 另含 4 个顶点的 6 个面 ( 非表面 ) 构成的 “ 平行线面组” 的个数为 6 × 2 ＝ 12 ， 故符合条件的 “ 平行线面组 ” 的个数是 36 ＋ 12 ＝ 48. 区域 A B E C D 涂法 4 3 2 ( 与 A 同色 )1 2 与 A 不同色 1 1 名师讲坛 • 素养提升 　　　　 (1) 将编号为 1,2,3,4,5,6 的六个小球放入编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 _______ ． (2) (2019 · 济南模拟 ) 如图，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路，其中有 6 个焊接点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F ，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有 ______ 种． 巧用图表法、间接法求解计数问题 135 　 例 6 63 　 (1) 当问题中涉及到的元素个最较少时，可通过图表将各种情况一一列出求解计数问题； (2) 当要求计数的情况较复杂，而其反面情况简单易求时，可采用间接法求解．即问题所有情况种数减去不合题意的情况种数． 〔 变式训练 3 〕 (1) (2019 · 保定质检 ) 三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4 次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有 ( 　　 ) A ． 4 种 B ． 6 种 C ． 10 种 D ． 16 种 (2) 若把英语单词 “ good ” 的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有 ______ 种． B 　 11