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  • 2021-07-01 发布

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书:10

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www.ks5u.com 第2课时 复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集 ‎[课程目标] 1.掌握复数的除法法则,并能运用复数的除法法则进行计算.2.会在复数范围内解实系数一元二次方程.‎ 知识点一  复数的除法 ‎[填一填]‎ ‎(1)复数的除法 如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z=(或z=z1÷z2),z1称为被除数,z2称为除数.‎ ‎(2)复数的倒数 给定复数z≠0,称为z的倒数,z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积.‎ ‎(3)运算法则 ‎(a+bi)÷(c+di)==(a+bi)()=(a+bi)·==+i.‎ ‎[答一答]‎ 怎样理解和应用复数代数形式的除法法则?‎ 提示:(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆运算.‎ ‎(2)复数除法的运算法则不必死记,在实际运算时,只需把商看作分数,分子、分母同乘以分母的共轭复数c-d i,把分母变为实数,化简后,就可以得到运算结果.‎ 知识点二  实系数一元二次方程 ‎[填一填]‎ 当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且 ‎(1)当Δ=b2-‎4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)当Δ=b2-‎4ac=0时,方程有两个相等的实数根;‎ ‎(3)当Δ=b2-‎4ac<0时,方程有两个互为共轭的虚数根.‎ 复数的模的运算性质.‎ 设z=a+bi(a,b∈R),|z|=,‎ ‎(1)|z|=||;‎ ‎(2)|z1·z2|=|z1|·|z2|;‎ ‎(3)||=(z2≠0);‎ ‎(4)|zn|=|z|n;‎ ‎(5)|z|=1⇔z·=1;‎ ‎(6)|z|2=||2=|z2|=|2|=z·.‎ 类型一  复数的除法运算 ‎[例1] 计算下列各式:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎[分析] 题中既有加、减、乘、除运算,又有括号,同实数的运算顺序一致,先算括号里的,再算乘除,最后算加减.‎ ‎[解] (1) ‎== ‎=== ‎=1-i.‎ ‎(2)== ‎== ‎==-1+i.‎ 复数的运算顺序与实数运算顺序相同,都是先进行高级运算(乘方、开方),再进行次级运算(乘、除),最后进行低级运算(加、减).如i的幂运算,先利用i的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算.‎ ‎[变式训练1] 计算:(1)+(1-i)2;‎ ‎(2)+(5+i3)-()6.‎ 解:(1)+(1-i)2‎ ‎=-2i=-2i=-2i ‎=-2i=-i.‎ ‎(2)+(5+i3)-()6‎ ‎=+(5+i2·i)-[()2]3‎ ‎=i+5-i-i3=5+i.‎ 类型二  实系数一元二次方程的解集 ‎[例2] 求下列一元二次方程的解:‎ ‎(1)3x2+5x+1=0;‎ ‎(2)2x2-3x+3=0;‎ ‎(3)4x2-5x+2=0.‎ ‎[分析] 求一元二次方程的根,最实用的方法是用求根公式法,如果Δ>0,则在实数系中有解,若Δ<0,则在复数系中有解. ‎ ‎[解] (1)Δ=52-4×3×1=13,‎ 故x==.‎ ‎(2)Δ=(-3)2-4×2×3=-15,‎ 故x==.‎ ‎(3)Δ=(-5)2-4×4×2=-7,‎ 故x==.‎ ‎[变式训练2] 已知关于x的方程x2-2ax+a2-‎4a+4=0(a∈R)的两根为α、β,且|α|+|β|=3,求实数a的值.‎ 解:由已知有Δ=(-‎2a)2-4(a2-‎4a+4)=‎16a-16.‎ ‎①当Δ≥0即a≥1时,‎ 由可知两根都是非负实根,‎ ‎∴|α|+|β|=α+β=3=‎2a⇒a=;‎ ‎②当Δ<0即a<1时,此时方程两根为共轭虚根,‎ 设α=m+ni,则β=m-ni.‎ ‎∴ ‎∴|α|+|β|=2=2|a-2|=3⇒a=;‎ 综上,a=或.‎ 类型三  复数运算的综合应用 ‎[例3] 设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.‎ ‎(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;‎ ‎(2)设u=,求证:u为纯虚数;‎ ‎(3)求ω-u2的最小值.‎ ‎[分析] (1)ω是实数可得到哪些结论?(ω的虚部为0或ω=)(2)u为纯虚数可得到哪些结论?(u的实部为0且虚部不为0,或u=-)‎ ‎[解] (1)∵z是虚数,‎ ‎∴可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.‎ ‎∴ω=z+=x+yi+ ‎=x+yi+=x++(y-)i.‎ ‎∵ω是实数,且y≠0,∴y-=0,‎ ‎∴x2+y2=1,即|z|=1.此时ω=2x.‎ ‎∵-1<ω<2,∴-1<2x<2,从而有-0.‎ 于是ω-u2=2(x+1)+-3≥2-3=1.‎ 当且仅当2(x+1)=,即x=0时等号成立.‎ ‎∴ω-u2的最小值为1,此时z=±i.‎ 该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识.只要概念清楚,运算熟练,按常规思路顺其自然不难求解.注意:解决后面的问题时,可以使用前面已经得到的结论.‎ ‎[变式训练3] 设z2=8+6i,求z3-16z-.‎ 解:z3-16z-== ‎==-==-.‎ ‎∵|z|2=|z2|=|8+6i|=10,‎ 又由z2=8+6i,得z=±(3+i),∴=±(3-i),‎ ‎∴原式=-=-60+20i或60-20i.‎ ‎1.已知a为正实数,i为虚数单位,若的模为2,则a=( B )‎ A.2 B. C. D.1‎ 解析:因为=1-ai,所以=2,又a>0,故a=,故选B.‎ ‎2.在复平面内,复数对应的点的坐标为( A )‎ A.(1,3)  B.(3,1)  C.(-1,3)  D.(3,-1)‎ 解析:本题考查复数的乘法与除法.‎ ===1+3i.‎ ‎∴复数对应的点的坐标为(1,3).‎ ‎3.复数z满足(z-i)(2-i)=5,则z=( D )‎ A.-2-2i B.-2+2i C.2-2i D.2+2i 解析:由题意可得,z-i===2+i,‎ 所以z=2+2i.‎ ‎4.若x,y∈R,且-=,则x=-1,y=-5.‎ 解析:∵-=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴(x-y)+(y-2x)i==4-3i,‎ ‎∴解得