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- 2021-07-01 发布
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第2课时 复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集
[课程目标] 1.掌握复数的除法法则,并能运用复数的除法法则进行计算.2.会在复数范围内解实系数一元二次方程.
知识点一 复数的除法
[填一填]
(1)复数的除法
如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z=(或z=z1÷z2),z1称为被除数,z2称为除数.
(2)复数的倒数
给定复数z≠0,称为z的倒数,z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积.
(3)运算法则
(a+bi)÷(c+di)==(a+bi)()=(a+bi)·==+i.
[答一答]
怎样理解和应用复数代数形式的除法法则?
提示:(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆运算.
(2)复数除法的运算法则不必死记,在实际运算时,只需把商看作分数,分子、分母同乘以分母的共轭复数c-d
i,把分母变为实数,化简后,就可以得到运算结果.
知识点二 实系数一元二次方程
[填一填]
当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且
(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程有两个互为共轭的虚数根.
复数的模的运算性质.
设z=a+bi(a,b∈R),|z|=,
(1)|z|=||;
(2)|z1·z2|=|z1|·|z2|;
(3)||=(z2≠0);
(4)|zn|=|z|n;
(5)|z|=1⇔z·=1;
(6)|z|2=||2=|z2|=|2|=z·.
类型一 复数的除法运算
[例1] 计算下列各式:
(1);
(2).
[分析] 题中既有加、减、乘、除运算,又有括号,同实数的运算顺序一致,先算括号里的,再算乘除,最后算加减.
[解] (1)
==
===
=1-i.
(2)==
==
==-1+i.
复数的运算顺序与实数运算顺序相同,都是先进行高级运算(乘方、开方),再进行次级运算(乘、除),最后进行低级运算(加、减).如i的幂运算,先利用i的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算.
[变式训练1] 计算:(1)+(1-i)2;
(2)+(5+i3)-()6.
解:(1)+(1-i)2
=-2i=-2i=-2i
=-2i=-i.
(2)+(5+i3)-()6
=+(5+i2·i)-[()2]3
=i+5-i-i3=5+i.
类型二 实系数一元二次方程的解集
[例2] 求下列一元二次方程的解:
(1)3x2+5x+1=0;
(2)2x2-3x+3=0;
(3)4x2-5x+2=0.
[分析] 求一元二次方程的根,最实用的方法是用求根公式法,如果Δ>0,则在实数系中有解,若Δ<0,则在复数系中有解.
[解] (1)Δ=52-4×3×1=13,
故x==.
(2)Δ=(-3)2-4×2×3=-15,
故x==.
(3)Δ=(-5)2-4×4×2=-7,
故x==.
[变式训练2] 已知关于x的方程x2-2ax+a2-4a+4=0(a∈R)的两根为α、β,且|α|+|β|=3,求实数a的值.
解:由已知有Δ=(-2a)2-4(a2-4a+4)=16a-16.
①当Δ≥0即a≥1时,
由可知两根都是非负实根,
∴|α|+|β|=α+β=3=2a⇒a=;
②当Δ<0即a<1时,此时方程两根为共轭虚根,
设α=m+ni,则β=m-ni.
∴
∴|α|+|β|=2=2|a-2|=3⇒a=;
综上,a=或.
类型三 复数运算的综合应用
[例3] 设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设u=,求证:u为纯虚数;
(3)求ω-u2的最小值.
[分析] (1)ω是实数可得到哪些结论?(ω的虚部为0或ω=)(2)u为纯虚数可得到哪些结论?(u的实部为0且虚部不为0,或u=-)
[解] (1)∵z是虚数,
∴可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.
∴ω=z+=x+yi+
=x+yi+=x++(y-)i.
∵ω是实数,且y≠0,∴y-=0,
∴x2+y2=1,即|z|=1.此时ω=2x.
∵-1<ω<2,∴-1<2x<2,从而有-0.
于是ω-u2=2(x+1)+-3≥2-3=1.
当且仅当2(x+1)=,即x=0时等号成立.
∴ω-u2的最小值为1,此时z=±i.
该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识.只要概念清楚,运算熟练,按常规思路顺其自然不难求解.注意:解决后面的问题时,可以使用前面已经得到的结论.
[变式训练3] 设z2=8+6i,求z3-16z-.
解:z3-16z-==
==-==-.
∵|z|2=|z2|=|8+6i|=10,
又由z2=8+6i,得z=±(3+i),∴=±(3-i),
∴原式=-=-60+20i或60-20i.
1.已知a为正实数,i为虚数单位,若的模为2,则a=( B )
A.2 B.
C. D.1
解析:因为=1-ai,所以=2,又a>0,故a=,故选B.
2.在复平面内,复数对应的点的坐标为( A )
A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,3) D.(3,-1)
解析:本题考查复数的乘法与除法.
===1+3i.
∴复数对应的点的坐标为(1,3).
3.复数z满足(z-i)(2-i)=5,则z=( D )
A.-2-2i B.-2+2i
C.2-2i D.2+2i
解析:由题意可得,z-i===2+i,
所以z=2+2i.
4.若x,y∈R,且-=,则x=-1,y=-5.
解析:∵-=,
∴=,
∴=,
∴(x-y)+(y-2x)i==4-3i,
∴解得
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