2020年高中数学第四章微积分基本定理 4页

‎4．5.4　微积分基本定理 一、基础达标 ‎1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是 ‎(　　)‎ ‎①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)；‎ ‎②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；‎ ‎③它在时间段[a，b]内的位移是s＝s′(ξi)；‎ ‎④它在时间段[a，b]内的位移是s＝s′(t)dt.‎ A．① B．①② C．①②④ D．①②③④‎ 答案　D ‎2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是 ‎(　　)‎ A．F(x)＝x3‎ B．F(x)＝x3‎ C．F(x)＝x3＋1‎ D．F(x)＝x3＋c(c为常数)‎ 答案　B 解析　若F(x)＝x3，则F′(x)＝3x2，这与F′(x)＝x2不一致，故选B.‎ ‎3.(ex＋2x)dx等于 ‎(　　)‎ A．1 B．e－‎1 ‎‎ C．e D．e＋1‎ 答案　C 解析　(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.‎ ‎4．已知f(x)＝，则f(x)dx的值为 ‎(　　)‎ A. B. C. D．－ 答案　B 4‎ 解析　f(x)dx＝x2dx＋1dx＝＋1‎ ‎＝＋1＝，故选B.‎ ‎5．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为______．‎ 答案　 解析　由已知得a＋c＝ax＋c，∴x＝，又∵0≤x0≤1，∴x0＝.‎ ‎6．(2013·湖南)若x2dx＝9，则常数T的值为________．‎ 答案　3‎ 解析　x2dx＝＝T3＝9，即T3＝27，解得T＝3.‎ ‎7．已知 (x3＋ax＋‎3a－b)dx＝‎2a＋6且f(t)＝(x3＋ax＋‎3a－b)dx为偶函数，求a，b的值．‎ 解　∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，‎ ‎∴ (x3＋ax)dx＝0，‎ ‎∴ (x3＋ax＋‎3a－b)dx ‎＝ (x3＋ax)dx＋ (‎3a－b)dx ‎＝0＋(‎3a－b)[1－(－1)]＝‎6a－2b.‎ ‎∴‎6a－2b＝‎2a＋6，即‎2a－b＝3，①‎ 又f(t)＝ ‎＝＋＋(‎3a－b)t为偶函数，‎ ‎∴‎3a－b＝0，②‎ 由①②得a＝－3，b＝－9.‎ 二、能力提升 ‎8．sin2dx等于 ‎(　　)‎ A. B .－‎1 ‎‎ C．2 D. 答案　D 解析　sin2dx＝dx＝＝，故选D.‎ 4‎ ‎9．(2013·江西)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为 ‎(　　)‎ A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3‎ C．S2＜S3＜S1 D. S3＜S2＜S1‎ 答案　B 解析　S1＝x2dx＝x3S2＝＝ln 2＜1，S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)＞，所以S2＜S1＜S3，选B.‎ ‎10．设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝________.‎ 答案　1‎ 解析　因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，‎ 所以f(0)＝a3.因为f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.‎ ‎11．设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式．‎ 解　∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则 f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝5，‎ xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝(ax2)dx＋bxdx＝a＋b＝.‎ 由，得.即f(x)＝4x＋3.‎ ‎12．若函数f(x)＝求f(x)dx的值．‎ 解　由积分的性质，知：‎ f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx ‎＝x3dx＋dx＋2xdx ‎＝‎ ‎＝＋－＋－ ‎＝－＋＋.‎ 三、探究与创新 ‎13．求定积分|x＋a|dx.‎ 4‎ 解　(1)当－a≤－4即a≥4时，‎ 原式＝ (x＋a)dx＝＝‎7a－.‎ ‎(2)当－4＜－a＜3即－3＜a＜4时，‎ 原式＝[－(x＋a)]dx＋ (x＋a)dx ‎＝－‎4a＋8＋ ‎＝a2－a＋.‎ ‎(3)当－a≥3即a≤－3时，‎ 原式＝ [－(x＋a)]dx＝＝－‎7a＋.‎ 综上，得|x＋a|dx＝ 4‎