高三数学二轮复习方法突破专题二数学思想方法限时训练文 8页

专题二 数学思想方法 (限时:45 分钟) 重点把关 1.(2016·河南六市二联)已知 =b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b 等于( A ) (A)1 (B)2 (C)-2 (D)3 2.(2016·安徽百校二联)已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,c=λa+μb,若 a⊥c, 则下列结论正确的是( D ) (A)λ-μ=0 (B)λ+μ=0 (C)2λ-μ=0 (D)2λ+μ=0 3.(2016·湖北高三模拟)已知 x,y 满足 +y2=1,则 u=|2x+y-4|+ |3-x-2y|的取值范围为( D ) (A)[1,12] (B)[0,6] (C)[0,12] (D)[1,13] 解析:根据椭圆方程可得,直线 2x+y-4=0 与直线 x+2y-3=0 均与椭圆相离,且在含有椭圆的半 平面内,均使 2x+y-4<0,x+2y-3<0,所以 u=-(2x+y-4)-(x+2y-3)=-3x-3y+7. 设 x= cos α,y=sin α,则 u=-3( cos α+sin α)+7=-6sin(α+ )+7∈ [1,13].故选 D. 4.(2016· 江 西 景 德 镇 重 点 中 学 一 联 ) 已 知 向 量 a,b,c 满 足 |a|=|b|=a·b=2,(a-c)·(b-2c)=0,则|b-c|的最小值为( B ) (A) (B) (C) (D) 解析:法一 由已知,得向量 a,b 的夹角为 .(a-c)·(b-2c)=0,即(a-c)·( -c)=0,即向量 (a-c)⊥( -c), 如图,把向量 a,b,c 的起点放置在点 O,记 OB 中点为 D,则点 C 在以 AD 为直径的圆 E 上,点 B,C 之间的距离即为|b-c|,所以|b-c|的最小值为 |BE|- |AD|. 在△OAD 中,OA=2,OD=1,∠AOD=60°,可得|AD|= ,且 AD⊥OB, 所以|BE|= = , 所以|BE|- |AD|= ,即为所求的最小值.故选 B. 法二 由已知,得向量 a,b 的夹角为 .建立平面直角坐标系,设 a=(2,0),b=(1, ),c=(x,y), 则(2-x,-y)·(1-2x, -2y)=0,整理,得(x- )2+(y- )2=( )2. |b-c|的几何意义是圆(x- )2+(y- )2=( )2 上点(x,y)到点(1, )的距离,故其最小值为 - = .故选 B. 5.(2016·福建厦门一检)已知点列 An(an,bn)(n∈N*)是函数 y=ax(a>0,a≠1)图象上的点,点列 Bn(n,0)满足|AnBn|=|AnBn+1|,若数列{bn}中任意相邻三项能构成三角形三边,则 a 的取值范围 是( B ) (A)0 (B) (D) 1 时,bn-1bn+1,解得 10),则 a=3t, 于是 c2=a2+ b2=9t2+ ·25t2=49t2. 即 c=7t. 由余弦定理得 cos C= = =- . 所以 C= . 能力提升 9.(2016·安庆二模)已知数列{an}是各项均不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 an= (n∈N*).若不等式 ≤ 对任意 n∈N*恒成立,则实数λ的最大值 为 . 解析:an= ⇒an= = , ⇒ =(2n-1)an⇒an=2n-1,n∈N*. ≤ 就是λ≤ ⇒λ≤2n- +15. 2n- +15 在 n≥1 时单调递增,其最小为 9,所以λ≤9, 故实数λ的最大值为 9. 答案:9 10.(2016·吉林四调)已知公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,且 a2,a4,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 bn=( ) ,设其前 n 项和为 Sn, 求证: ≤Sn< . (1)解:设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 由已知得 =a2a9, 即(a3+d)2=(a3-d)(a3+6d), 又 a3=7,d≠0,故 d=3. 从而 a1=1,数列{an}的通项公式 an=3n-2. (2)证明:由(1)知 bn=( )3n-2, 故 Sn= = [1-( )n]< . 又 bn=( )3n-2>0. 因此 Sn≥S1= , 故 ≤Sn< . 11.(2016·江西九江三模)已知函数 f(x)=x2+ax-ln x,g(x)=ex(a ∈R). (1)是否存在 a 及过原点的直线 l,使得直线 l 与曲线 y=f(x),y=g(x)均相切?若存在,求 a 动 点值及直线 l 动点方程;若不存在,请说明 理由; (2)若函数 F(x)= 在区间(0,1]上是单调函数,求 a 的取值范围. 解:(1)因为 g′(x)=ex,设曲线 y=g(x)在点(x1, )处切线过原点, 则切线方程为 y= x, 因为点(x1, )在切线上, 所以 = ·x1, 所以 x1=1, 所以切线方程为 y=ex, 设直线 y=ex 与曲线 y=f(x)切于点(x2,y2), 因为 f′(x)=2x+a- , 所以 f′(x2)=2x2+a- =e, 所以 a=e-2x2+ . 又因为 +ax2-ln x2=ex2, 所以 +(e-2x2+ )x2-ln x2=ex2, 所以 +ln x2-1=0,解得 x2=1, 所以 a=e-1. 故存在 a=e-1 及 l:y=ex,使得直线 l 与曲线 y=f(x),y=g(x)均相切. (2)F(x)= , F′(x)= , 令 h(x)=-x2+(2-a)x+a- +ln x, 则 h′(x)=-2x+ + +2-a, 易知 h′(x)在(0,1]上单调递减,从而 h′(x)≥h′(1)=2-a. ①当 2-a≥0 时,即 a≤2 时,h′(x)≥0,h(x)在区间(0,1]上单调递增, 因为 h(1)=0, 所以 h(x)≤0 在(0,1]上恒成立, 即 F′(x)≤0 在(0,1]上恒成立. 所以 F(x)在区间(0,1]上单调递减, 所以 a≤2 满足题意. ②当 2-a<0 时,即 a>2 时, 因为 h′(1)=2-a<0, 当 x>0 且 x→0 时,h′(x)→+∞, 故函数 h′(x)存在唯一零点 x0∈(0,1],且 h(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减, 又因为 h(1)=0, 所以 F(x)在(x0,1)上单调递增. 注意到 h(e-a)<0,e-a∈(0,x0), 所以 F(x)在(0,e-a)上单调递减,这与 F(x)在区间(0,1]上是单调函数矛盾, 所以 a>2 不合题意. 综合①②得,a 的取值范围是(-∞,2]. 创新选做 12.(2016·湖北武汉调研)若关于 x 的不等式 acos 2x+cos x≥-1 恒成立,则实数 a 的取值范 围是 . 解析:不等式可以化为 2acos2 x+cos x-a+1≥0, 令 t=cos x,则 t∈[-1,1]. 令 f(t)=2at2+t-a+1. 若 a=0,则 f(t)=t+1≥0 恒成立. 若 a<0,二次函数 y=f(t)开口向下,故只要 即可,此时 无解. a>0 时,二次函数 y=f(t)的对称轴方程为 t=- . 若 0 ,则只要 f(- )= - -a+1≥0, 整理,得 8a2-8a+1≤0, 解得 ≤a≤ , 所以