2018届高三数学（理）一轮复习空间几何等考点专练 7页

板块命题点专练（十一） 命题点一 空间几何体的三视图及表面积与体积 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中 题型：选择题、填空题、解答题 1．(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是 ( ) A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2 D．138 cm2 解析：选 D 由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几 何体的表面积 S＝S1－S 正方形＋S2＋2S3＋S 斜面，其中 S1 是长方体的表 面积，S2 是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，S3 是三棱柱的一个 底 面 的 面 积 ， 则 S ＝ (4×6 ＋ 3×6 ＋ 3×4)×2 － 3×3 ＋ 3×4 ＋ 2×1 2 ×4×3＋5×3＝138(cm2)，选 D． 2．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A．1 3 ＋π B．2 3 ＋π C．1 3 ＋2π D．2 3 ＋2π 解析：选 A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数 据可得三棱锥的体积 V1＝1 3 ×1 2 ×2×1×1＝1 3 ，半圆柱的体积 V2＝1 2 ×π×12×2＝π，∴V＝1 3 ＋π． 3．(2015·山东高考)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在 的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A．2 2π 3 B．4 2π 3 C．2 2π D．4 2π 解析：选 B 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲 面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥 的底面半径和高都为 2，故所求几何体的体积 V＝2×1 3 ×π×( 2)2× 2＝ 4 2π 3 ． 4．(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( ) A．1 6 B．1 3 C．1 2 D．1 解析：选 A 通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥 PABC，通过侧视图得高 h＝1，底面积 S＝1 2 ×1×1＝1 2 ，所以体积 V＝ 1 3Sh＝1 3 ×1 2 ×1＝1 6 ． 5．(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示 (单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3． 解析：由三视图知，四棱锥的高为 3 m，底面平行四边形的一边长为 2 m，对应高为 1 m， 所以其体积 V＝1 3Sh＝1 3 ×2×1×3＝2(m3)． 答案：2 6．(2015·四川高考)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边 长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形．设点 M，N，P 分别是棱 AB，BC，B1C1 的中点，则三棱锥 PA1MN 的体积是________． 解析：由三视图易知几何体 ABCA1B1C1 是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱， 则 VPA1MN＝VA1PMN＝VAPMN． 又 S△PMN＝1 2MN·NP＝1 2 ×1 2 ×1＝1 4 ， A 到平面 PMN 的距离 h＝1 2 ， ∴VAPMN＝1 3S△PMN·h＝1 3 ×1 4 ×1 2 ＝ 1 24 ． 答案： 1 24 7．(2015·安徽高考)如图，三棱锥 PABC 中，PA⊥平面 ABC，PA＝ 1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°． (1)求三棱锥 PABC 的体积； (2)证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 AC⊥BM，并求PM MC 的值． 解：(1)由题设 AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°， 可得 S△ABC＝1 2·AB·AC·sin 60°＝ 3 2 ． 由 PA⊥平面 ABC，可知 PA 是三棱锥 PABC 的高． 又 PA＝1， 所以三棱锥 PABC 的体积 V＝1 3·S△ABC·PA＝ 3 6 ． (2)证明：在平面 ABC 内，过点 B 作 BN⊥AC，垂足为 N．在平面 PAC 内，过点 N 作 MN∥PA 交 PC 于点 M，连接 BM． 由 PA⊥平面 ABC 知 PA⊥AC，所以 MN⊥AC． 由于 BN∩MN＝N，故 AC⊥平面 MBN． 又 BM⊂平面 MBN，所以 AC⊥BM． 在 Rt△BAN 中，AN＝AB·cos∠BAC＝1 2 ， 从而 NC＝AC－AN＝3 2 ． 由 MN∥PA， 得PM MC ＝AN NC ＝1 3 ． 命题点二 组合体的“切”“接”问题 命题指数：☆☆☆ 难度：中 题型：选择题、填空题 1．(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球．若 AB⊥ BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是( ) A．4π B．9π 2 C．6π D．32π 3 解析：选 B 设球的半径为 R，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－10 2 ＝2，∴R≤2．又 2R≤3，∴R≤3 2 ，∴Vmax＝4 3 ×π× 3 2 3＝9π 2 ．故选 B． 2．(2015·全国卷Ⅱ)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝90°，C 为该球面上的动 点．若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析：选 C 如图，设球的半径为 R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝1 2R2． ∵VO ABC＝VCAOB，而△AOB 面积为定值， ∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VOABC 最大， ∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VOABC 最大，为1 3 ×1 2R2×R＝ 36， ∴R＝6，∴球 O 的表面积为 4πR2＝4π×62＝144π． 3．(2013·全国卷Ⅱ)已知正四棱锥 OABCD 的体积为3 2 2 ，底面边长为 3，则以 O 为球 心，OA 为半径的球的表面积为________． 解析：过 O 作底面 ABCD 的垂线段 OE，连接 EA，则 E 为正方形 ABCD 的中心．由 题意可知1 3 ×( 3)2×OE＝3 2 2 ，所以 OE＝3 2 2 ，故球的半径 R＝OA＝ OE2＋EA2＝ 6，则 球的表面积 S＝4πR2＝24π． 答案：24π 命题点三 直线、平面平行与垂直的判定与性质 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中 题型：选择题、填空题、解答题 1．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线 l，若直线 m，n 满足 m∥α，n ⊥β，则( ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 解析：选 C ∵α∩β＝l，∴l⊂β． ∵n⊥β，∴n⊥l． 2．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β． ②如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n． ③如果α∥β，m⊂α，那么 m∥β． ④如果 m∥n，α∥β，那么 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 解析：对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误． 对于②，由线面平行的性质定理知存在直线 l⊂α，n∥l，又 m⊥α，所以 m⊥l，所以 m ⊥n，故正确． 对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又 m⊂α，所以 m，β没有公共点，由线面 平行的定义可知 m∥β，故正确． 对于④，因为 m∥n，所以 m 与α所成的角和 n 与α所成的角相等．因为α∥β，所以 n 与α所成的角和 n 与β所成的角相等，所以 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相等，故正确． 答案：②③④ 3．(2014·湖北高考)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E， F，P，Q，M，N 分别是棱 AB ，AD ，DD1 ，BB1 ，A1B1 ，A1D1 的中点． 求证： (1)直线 BC1 ∥平面 EFPQ ； (2)直线 AC1⊥平面 PQMN ． 证明：(1)连接 AD1，由 ABCDA1B1C1D1 是正方体， 知 AD1∥BC1， 因为 F，P 分别是 AD，DD1 的中点， 所以 FP∥AD1． 从而 BC1∥FP． 而 FP⊂平面 EFPQ，且 BC1⊄平面 EFPQ， 故直线 BC1∥平面 EFPQ． (2)连接 AC，BD，则 AC⊥BD． 由 CC1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，可得 CC1⊥BD． 又 AC∩CC1＝C， 所以 BD⊥平面 ACC1． 而 AC1⊂平面 ACC1， 所以 BD⊥AC1． 连接 B1D1， 因为 M，N 分别是 A1B1，A1D1 的中点， 所以 MN∥B1D1， 故 MN∥BD， 从而 MN⊥AC1． 同理可证 PN⊥AC1． 又 PN∩MN＝N， 所以直线 AC1⊥平面 PQMN． 4．(2016·北京高考)如图，在四棱锥 PABCD 中，PC⊥平面 ABCD，AB ∥DC，DC⊥AC． (1)求证：DC⊥平面 PAC． (2)求证：平面 PAB⊥平面 PAC． (3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA∥平面 CEF？说明理由． 解：(1)证明：因为 PC⊥平面 ABCD， 所以 PC⊥DC． 又因为 DC⊥AC，且 PC∩AC＝C， 所以 DC⊥平面 PAC． (2)证明：因为 AB∥DC，DC⊥AC， 所以 AB⊥AC． 因为 PC⊥平面 ABCD，所以 PC⊥AB． 又因为 PC∩AC＝C，所以 AB⊥平面 PAC． 又 AB⊂平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAC． (3)棱 PB 上存在点 F，使得 PA∥平面 CEF． 理由如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF． 因为 E 为 AB 的中点， 所以 EF∥PA． 又因为 PA⊄平面 CEF， 且 EF⊂平面 CEF， 所以 PA∥平面 CEF． 5．(2016·全国乙卷)如图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形， PA＝6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影 为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G． (1)证明：G 是 AB 的中点； (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由)，并求四面体 PDEF 的 体积． 解：(1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D， 所以 AB⊥PD． 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E， 所以 AB⊥DE． 因为 PD∩DE＝D， 所以 AB⊥平面 PED， 故 AB⊥PG． 又由已知可得，PA＝PB， 所以 G 是 AB 的中点． (2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内的正 投影． 理由如下： 由已知可得 PB⊥PA，PB⊥PC， 又 EF∥PB， 所以 EF⊥PA，EF⊥PC． 又 PA∩PC＝P， 因此 EF⊥平面 PAC， 即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影． 连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D， 所以 D 是正三角形 ABC 的中心． 由(1)知，G 是 AB 的中点， 所以 D 在 CG 上，故 CD＝2 3CG． 由题设可得 PC⊥平面 PAB，DE⊥平面 PAB， 所以 DE∥PC， 因此 PE＝2 3PG，DE＝1 3PC． 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA＝6， 可得 DE＝2，PE＝2 2． 在等腰直角三角形 EFP 中， 可得 EF＝PF＝2， 所以四面体 PDEF 的体积 V＝1 3 ×1 2 ×2×2×2＝4 3 ．