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- 2021-07-01 发布
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2019届高三第一次摸底考试
理科数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的).
1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( )
A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
2.若复数z满足z(i+1)=,则复数z的虚部为( )
A.-1 B.0 C.i D.1
3.sin 210°cos 120°的值为( )
A. B.- C.- D.
4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n,则a2+a18=( )
A.36 B.35 C.34 D.33
5.已知f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))=( )
A.-2 B.2 C.3 D.-3
6. 在内随机取出两个数,则这两个数满足的概率为( )
A. B. C. D.
7. 若圆与直线交于不同的两点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3 B. C. D.3
9.《九章算数》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为( )
- 13 -
A.2 B.4+2 C.4+4 D.6+4
是
10. 运行如下程序框图,如果输入的,则输出属于( )
否
开始
输入t
2222
输出
结束
A. B. C. D.
11.设向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,a·(a-b)=0,则|2a+b|=( )
A.2 B.2 C.4 D.4
12.已知函数存在极值,若这些极值的和大于,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本试卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若二项式展开式中的第5项是常数,则自然数n的值为________.
- 13 -
14.已知x,y满足则的取值范围是________.
15.下列说法中正确的是________.
①命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
②“x=2”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
③若命题p:∃x0∈R,使得x-x0+1≤0,则¬p:对∀x∈R,都有x2-x+1>0
④若p∨q为真命题,则p,q均为真命题
16.已知F是抛物线y2=4x的焦点,A,B是抛物线上两点,若△AFB是正三角形,则△AFB的边长为________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表:
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.
18.(本小题满分10分)已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ=2(cosθ-),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.
19.(本小题满分12分)已知数列为公差不为0的等差数列,满足,且成等比数列.
(1)求的通项公式;
- 13 -
(2)若数列满足 ,且,求数列的前项和.
20. (本小题满分12分)已知在四棱锥中,平面,,是边长为的等边三角形,,为的中点.
(1)求证:;
(2)若直线与平面所成角的正切值为,求二面角的大小.
21.(本小题满分12分)如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点,上顶点分别为A,B,且|AB|=|BF|.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OP⊥OQ,求直线l的方程及椭圆C的方程.
22.(本小题满分12分)设函数f(x)=(a∈R).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.
- 13 -
2019届高三第一次摸底考试
理科数学参考答案
1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.C 10.A 11.B 12.B
13.12 14. 15.①②③ 16.8+4或8-4
17.解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)由已知可得Y=+425,故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)
=++=.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.
18.解:(1)ρ=2cos=2(cos θ+sin θ),即ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),
可得x2+y2-2x-2y=0,故C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
(2)C1的普通方程为x+y+2=0,由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心,以为半径的圆,且圆心到直线C1的距离d==,
所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.
19.(1)设等差数列的公差为(),由成等比数列可知,又,解得,∴.………………4分
(2)由,得,
- 13 -
当时,
, …………………8分
对上式也成立,∴ ,∴,
∴
……………………… 12分
20.(1)因为是等边三角形,为的中点,所以.
又因为平面,,可得平面,
因为平面,所以;(4分)
(2)如图,以点为坐标原点,所在直线分别为轴,过且与直线平行的直线为轴,建立空间直角坐标系.因为平面,所以为直线与平面所成的角.(6分)
由题意得,即,故,,,于是, , , ,设平面与平面的法向量分别为,,则由得,令,得,所以.同理求得, (10分)
所以,则二面角的大小为.(12分)
- 13 -
21.解:(1)由已知|AB|=|BF|,即=a,
4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,∴e==.
(2)由(1)知a2=4b2,∴椭圆C:+=1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.
由消去y,得x2+4(2x+2)2-4b2=0,
即17x2+32x+16-4b2=0.Δ=322+16×17(b2-4)>0,解得b>.
x1+x2=-,x1x2=.
∵OP⊥OQ,∴·=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,
5x1x2+4(x1+x2)+4=0.从而-+4=0,
解得b=1,满足b>.∴椭圆C的方程为+y2=1.
22.解:(1)对f(x)求导得f′(x)==,
因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,即a=0.
当a=0时,f(x)=,f′(x)=,故f(1)=,f′(1)=,从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=(x-1),化简得3x-ey=0.
(2)由(1)知f′(x)=.
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=,x2=.
当x<x1时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数;
当x1<x<x2时,g(x)>0,即f′(x)>0,故f(x)为增函数;
- 13 -
当x>x2时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数.
由f(x)在[3,+∞)上为减函数,知x2=≤3,解得a≥-,
故a的取值范围为.
2019届高三第一次摸底考试
理科数学 答题卡
条 码 粘 贴 处
姓名:______________________________
班级:
准考证号
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记!只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
注意事项
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2.请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内。
3.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写,字体工整。
4.请按题号顺序在各题的答题区内作答,超出范围的答案无效,在草纸、试卷上作答无效。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。
6.填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
第I卷(请用2B铅笔填涂)
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
第II卷(请在各试题的答题区内作答)
13.(5分)________________ 14.(5分)________________
15.(5分)________________ 16.(5分)________________
17.(12分)
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
(续17题)
18.(10分)
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
- 13 -
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
19.(12分)
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- 13 -
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请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20.(12分)
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请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
21.(12分)
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请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
22.(12分)
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请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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