高中数学必修1教案：第二章（第10课时）反函数3 4页

课 题：2.4.3 反函数（三）‎ 教学目的：‎ ‎1．在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数，会利用反函数解决相关综合问题 ‎ ‎2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；‎ ‎3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点 教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用 教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.‎ 授课类型：练习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明 互为反函数的两个函数有什么关系：‎ 函数与的图象关于直线对称.‎ 反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ‎2．函数、、、间的关系：‎ 与、与互为反函数；‎ 与、与为同一函数 二、讲解例题：‎ 例1 求函数y=(x≥0，x≠1)的反函数.‎ 解：⑴由原函数变形为y-y=1+，即=(y-1)/(y+1)--①,‎ ‎∵≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得y<-1或y≥1, ‎ ‎⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)],‎ ‎⑶∴原函数的反函数是= [(x-1)/(x+1)]（x<-1或x≥1）；‎ 说明：原函数的值域是借助于变形中的①式：≥0而得到的，对于一个比较复杂的函数，求它的值域时要注意题目中的现有条件.‎ 例2 设函数y==，求它的反函数.‎ 分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x范围内求其反函数.‎ 解：⑴当x<0时，y=x,其反函数仍是y=x(x<0);‎ ‎⑵当x≥0时，y=，由y= (x≥0)得x=,又y= (x≥0)的值域为y≥0，∴y= (x≥0)的反函数是y=(x≥0). ‎ ‎⑶由⑴⑵可得=.‎ 例3 已知函数的反函数是(x∈R,x≠2)，求a,b,c的值.‎ 解：⑴由(x≠2)解出x=，‎ ‎∵原函数的值域是y≠3,‎ ‎∴(x≠2)的反函数是(x≠3,x∈R). ‎ ‎⑵由互为反函数的函数关系知，与是同一函数，∴a=2,b=1,c=-3.‎ 例4 若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求a,b的值.‎ 分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，如何寻求？‎ ‎①A(1,2)在图象上，这是很容易看出来的.‎ ‎②如何用它也在的反函数的图象上呢？‎ 其一，真求反函数，再把A(1,2)代入. 能不能不求反函数？‎ 其二，A(1,2)在反函数图象上，则(2,1)就应在原函数的图象上，即(a,b)满足y=，则(b,a)应满足y=，反之亦然.‎ 解：由A(1,2)在=上，则有--①；‎ 由A(1,2)在其反函数图象上，可知(2,1)也在函数=图象上，∴又有--②，‎ 解联立①②的方程组得a=-3,b=7.‎ 例5．若，试求反函数．‎ 分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式．‎ 解：令，则，，‎ 代入所给表达式，得+2=，‎ ‎，∴，即原来函数是．‎ 易求函数的反函数是 ‎．‎ 注：在利用换元解题时，一定要注意新元（中间变量）的取值范围．‎ 三、练习：‎ ‎1．求函数y=的反函数.‎ 解：当x≥0时，y≥1，由y=x2+1得x= ( y≥1)；当x<0时，y<1，由y=x+1得x=y-1(y<1). 将x,y对换得y==.‎ 说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.‎ 的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆.‎ ‎2． 已知函数=1+有反函数，且点(a,b)在函数 的图象上，又在其反函数的图象上，求a,b的值.‎ 解：∵点(a,b)在函数的图象上，∴b=1+---①,‎ 又点(a,b)在其反函数的图象上，‎ ‎∴点(b,a)在原函数的图象上，‎ ‎∴有a=1+---②，联立①②解得a=b=2.‎ ‎ 四、小结 本节课学习了以下内容：‎ ‎ 分段函数的反函数的求法及含有字母的函数的问题 五、课后作业：‎ ‎1．课本P64习题2.4：3，4.‎ 答案：3.⑴y==x/2，‎ 它的定义域为[0,+∞); ‎ ‎⑵ ‎ 及其反函数 的图象如右图所示.‎ ‎4.∵y=x/5+b的反函数为y=5x-5b，‎ 由已知y=ax+3是y=x/5+b的反函数，‎ ‎∴函数y=x/5+b与函数y=ax+3为同一个函数，‎ 由此得a=5且-5b=3. ‎ ‎∴a=5,b=-3/5.‎ ‎2．求函数=x|x|+2x的反函数. (提示：讨论x≥0和x<0两种情况，写成分段函数，分别在两部分内求反函数)‎ 答案：=‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记： ‎