2020高中数学第二章函数2 7页

‎2.4.2‎二次函数的性质 一、选择题 ‎1．下列区间中，使y＝－2x2＋x增加的是(　　)‎ A．R B．[2，＋∞)‎ C．[，＋∞) D．(－∞，]‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由y＝－2(x－)2＋，‎ 可知函数在(－∞，]上是增加的．‎ ‎2．函数y＝ax2＋bx＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，则(　　)‎ A．b>0且a<0 B．b＝‎2a<0‎ C．b＝‎2a>0 D．a，b的符号不定 ‎[答案]　B ‎[解析]　因为函数y＝ax2＋bx＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，所以a<0，且在对称轴x＝－＝－1处取最大值，故b＝‎2a<0，选B.‎ ‎3．函数y＝－x2＋4x的增区间是(　　)‎ A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞)‎ C．(－∞，－2] D．(－∞，2]‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　函数y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，则对称轴是x＝2，所以当x≤2时，函数是增加的．‎ ‎4．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像的最高点为(－1，－3)，则b与c的值是(　　)‎ A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4‎ C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵y＝－x2＋bx＋c＝－(x－)2＋最高点为(－1，－3)，‎ ‎∴解得故选D.‎ ‎5．函数f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]，则函数(　　)‎ A．有最小值0，最大值9 B．有最小值2，最大值5‎ 7‎ C．有最小值2，最大值9 D．有最小值1，最大值5‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由于f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，‎ 图像的对称轴是x＝－1，所以f(x)在x＝－1处取得最小值且f(－1)＝0.又f(－2)＝1，f(2)＝9.‎ 因此函数的最大值等于9.‎ ‎6．某生产厂家生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的解析式为y＝x2－85x，若每件产品售价25万元，则该厂所获利润最大时生产的产品件数为(　　)‎ A．35 B．45‎ C．55 D．65‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　生产x台时，所获利润f(x)＝25x－y＝－x2＋110x＝－(x－55)2＋3 025.‎ 所以当x＝55时，f(x)取最大值，即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55.‎ 二、填空题 ‎7．已知函数f(x)＝4x2－ x－8在[2,10]上具有单调性，则实数 的取值范围是________．‎ ‎[答案]　 ≤16或 ≥80‎ ‎[解析]　函数f(x)的对称轴为x＝，‎ ‎∴≤2或≥10，‎ ‎∴ ≤16或 ≥80.‎ ‎8．已知抛物线y＝ax2与直线y＝ x＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．‎ ‎[答案]　(－，)‎ ‎[解析]　把(1,4)的坐标代入y＝ax2与y＝ x＋1中得a＝4， ＝3.所以由，‎ 解得或 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝x2＋2ax－3.‎ ‎(1)如果f(a＋1)－f(a)＝9，求a的值；‎ ‎(2)问a为何值时，函数的最小值是－4?‎ ‎[解析]　(1)∵f(a＋1)－f(a)＝(a＋1)2＋‎2a(a＋1)－3－(a2＋‎2a2－3)＝‎4a＋1＝9，∴a＝2.‎ ‎(2)∵由＝－4，‎ 7‎ 得a2＝1，∴a＝±1.‎ ‎10．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图像与y轴交于点(0,1)，且满足f(－2＋x)＝f(－2－x)(x∈R)．‎ ‎(1)求该二次函数的解析式；‎ ‎(2)已知函数在(t－1，＋∞)上是增加的，求实数t的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)由函数f(x)的图像与y轴交于点(0,1)，知c＝1.‎ ‎∵f(－2＋x)＝f(－2－x)，‎ ‎∴函数f(x)的对称轴x＝－＝－＝－2.‎ ‎∴a＝.∴f(x)＝x2＋2x＋1.‎ ‎(2)∵函数f(x)在(t－1，＋∞)上是增加的，‎ ‎∴t－1≥－2.∴t≥－1.‎ ‎11．(1)当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值．‎ ‎(2)当1≤x≤2时，求函数y＝－x2－x＋1的最大值和最小值．‎ ‎(3)当x≥0时，求函数y＝－x(2－x)的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)作出函数的图像，如图(1)，开口向上，对称轴为x＝1，‎ 所以当x＝1时，ymin＝－4；‎ 当x＝－2时，ymax＝5.‎ ‎(2)作出函数的图像，如图(2)，开口向下，对称轴为x＝－.‎ 所以当x＝1时，ymax＝－1；‎ 当x＝2时，ymin＝－5.‎ ‎(3)作出函数y＝－x(2－x)＝x2－2x在x≥0时的图像，如图(3)．‎ 可以看出：当x＝1时，ymin＝－1，无最大值．‎ 所以，当x≥0时，函数的取值范围是y≥－1.‎ 一、选择题 ‎1．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)‎ A．a>0,‎4a＋b＝0 B．a<0,‎4a＋b＝0‎ 7‎ C．a>0,‎2a＋b＝0 D．a<0,‎2a＋b＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意得f(0)＝c，f(4)＝‎16a＋4b＋c＝c，‎ 即‎16a＋4b＝0,‎4a＋b＝0，f(1)＝a＋b＋c，‎ 因为f(4)>f(1)，所以a＋b<0，a>0，故选A.‎ ‎2．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是(　　)‎ A．f(1)≥25 B．f(1)＝25‎ C．f(1)≤25 D．f(1)>25‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　f(x)＝4x2－mx＋5在[，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞)⊆[，＋∞)，‎ 即－2≥，∴m≤－16.∴f(1)＝9－m≥25.‎ 二、填空题 ‎3．设函数f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在[－1，＋∞)上是增加的，在(－∞，－1]上是减少的，则f(－1)＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　∵＝－1，∴a＝－9.‎ ‎∴f(－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.‎ ‎4．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________．‎ ‎[答案]　3或－1‎ ‎[解析]　由图像知f(3)＝0，‎ ‎∴m＝3.‎ 由－x2＋2x＋3＝0得x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1.‎ 三、解答题 ‎5．已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，求实数m 7‎ 的取值范围．‎ ‎[解析]　y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，作出如下函数图像：‎ 图像的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,2)．‎ ‎∵函数的最小值为2，‎ ‎∴1∈[0，m]．‎ 又∵当y＝3时，‎ 解x2－2x＋3＝3，得x＝0或x＝2.‎ 再观察图像得：1≤m≤2.‎ ‎6．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若f(x)在区间[‎2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋‎2m＋1的图像上方，试确定实数m的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)的图像关于x＝1对称，f(x)的最小值为1，‎ 故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，‎ 因为f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.‎ ‎(2)要使函数不单调，则‎2a<12x＋‎2m＋1，‎ 化简得x2－3x＋1－m>0.‎ 设g(x)＝x2－3x＋1－m，则只要g(x)min>0，‎ 因为x∈[－1,1]时，g(x)是减少的，‎ 所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，‎ 因此有－1－m>0，得m<－1.‎ ‎7．设f(x)＝x2＋ax＋3－a，且f(x)在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a的取值范围．‎ ‎[解析]　f(x)＝2＋3－a－，f(x)≥0在x∈[－2,2]恒成立的条件是f(x)在x∈[－2,2]上的最小值非负．‎ ‎(1)当－<－2，即a>4时，f(x)在[－2,2]上是增函数，最小值为f(－2)＝7－‎3a，由7－‎ 7‎ ‎3a‎≥0，得a≤，这与a>4矛盾，此时a不存在．‎ ‎(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)在[－2,2]上的最小值为f＝3－a－，3－a－≥0⇒a2＋‎4a－12≤0，∴－6≤a≤2.‎ 结合－4≤a≤4，可知此时－4≤a≤2.‎ ‎(3)当－>2，即a<－4时，f(x)在[－2,2]上是减函数，最小值为f(2)＝7＋a，由7＋a≥0，得a≥－7.‎ ‎∵a<－4，∴－7≤a<－4.‎ 由(1)(2)(3)可知，a的取值范围是[－7,2]．‎ ‎8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数g(x)＝－bx(b≠0)，其中a，b，c满足a>b>c，a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)．‎ ‎(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；‎ ‎(2)求证：方程f(x)－g(x)＝0的两个实数根都小于2.‎ ‎[解析]　(1)若f(x)－g(x)＝0，则ax2＋2bx＋c＝0，‎ ‎∵Δ＝4b2－‎4ac＝4(－a－c)2－‎‎4ac ‎＝4[(a－)2＋c2]>0，‎ 故两函数的图像交于不同的两点．‎ ‎(2)设h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋2bx＋c，令h(x)＝0可得ax2＋2bx＋c＝0.由(1)可知，Δ>0.‎ ‎∵a>b>c，a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)，∴a>0，c<0，‎ ‎∴h(2)＝‎4a＋4b＋c＝4(－b－c)＋4b＋c＝－‎3c>0，‎ ‎－＝＝＝1＋<2，‎ 即有，结合二次函数的图像可知，‎ 方程f(x)－g(x)＝0的两个实数根都小于2.‎ ‎9．某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55 0.75元/度之间，经测算，若电价调到x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比例．又当x＝0.65元/度时，y＝0.8.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式；‎ ‎(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20 ？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) .‎ ‎[解析]　(1)∵y与x－0.4成反比例，‎ 7‎ ‎∴设y＝( ≠0)．‎ 将x＝0.65，y＝0.8代入上式，‎ 得0.8＝，解得 ＝0.2.‎ ‎∴y＝＝，‎ 即y与x之间的函数关系式为y＝.(x≠)‎ ‎(2)根据题意，得(1＋)·(x－0.3)‎ ‎＝1×(0.8－0.3)×(1＋20 )．‎ 整理，得x2－1.1x＋0.3＝0.‎ 解得x1＝0.5，x2＝0.6.‎ 经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．‎ ‎∵x的取值范围是0.55 0.75之间，‎ 故x＝0.5不符合题意，应舍去．∴取x＝0.6.‎ 当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20 .‎ 7‎