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  • 2021-07-01 发布

2020高中数学第二章函数2

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‎2.4.2‎二次函数的性质 一、选择题 ‎1.下列区间中,使y=-2x2+x增加的是(  )‎ A.R B.[2,+∞)‎ C.[,+∞) D.(-∞,]‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由y=-2(x-)2+,‎ 可知函数在(-∞,]上是增加的.‎ ‎2.函数y=ax2+bx+3在(-∞,-1]上是增加的,在[-1,+∞)上是减少的,则(  )‎ A.b>0且a<0 B.b=‎2a<0‎ C.b=‎2a>0 D.a,b的符号不定 ‎[答案] B ‎[解析] 因为函数y=ax2+bx+3在(-∞,-1]上是增加的,在[-1,+∞)上是减少的,所以a<0,且在对称轴x=-=-1处取最大值,故b=‎2a<0,选B.‎ ‎3.函数y=-x2+4x的增区间是(  )‎ A.[-2,+∞) B.[2,+∞)‎ C.(-∞,-2] D.(-∞,2]‎ ‎[答案] D ‎[解析] 函数y=-x2+4x=-(x-2)2+4,则对称轴是x=2,所以当x≤2时,函数是增加的.‎ ‎4.二次函数y=-x2+bx+c的图像的最高点为(-1,-3),则b与c的值是(  )‎ A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4‎ C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵y=-x2+bx+c=-(x-)2+最高点为(-1,-3),‎ ‎∴解得故选D.‎ ‎5.函数f(x)=x2+2x+1,x∈[-2,2],则函数(  )‎ A.有最小值0,最大值9 B.有最小值2,最大值5‎ 7‎ C.有最小值2,最大值9 D.有最小值1,最大值5‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由于f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,‎ 图像的对称轴是x=-1,所以f(x)在x=-1处取得最小值且f(-1)=0.又f(-2)=1,f(2)=9.‎ 因此函数的最大值等于9.‎ ‎6.某生产厂家生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的解析式为y=x2-85x,若每件产品售价25万元,则该厂所获利润最大时生产的产品件数为(  )‎ A.35 B.45‎ C.55 D.65‎ ‎[答案] C ‎[解析] 生产x台时,所获利润f(x)=25x-y=-x2+110x=-(x-55)2+3 025.‎ 所以当x=55时,f(x)取最大值,即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55.‎ 二、填空题 ‎7.已知函数f(x)=4x2- x-8在[2,10]上具有单调性,则实数 的取值范围是________.‎ ‎[答案]  ≤16或 ≥80‎ ‎[解析] 函数f(x)的对称轴为x=,‎ ‎∴≤2或≥10,‎ ‎∴ ≤16或 ≥80.‎ ‎8.已知抛物线y=ax2与直线y= x+1交于两点,其中一点的坐标为(1,4),则另一交点的坐标为________.‎ ‎[答案] (-,)‎ ‎[解析] 把(1,4)的坐标代入y=ax2与y= x+1中得a=4, =3.所以由,‎ 解得或 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)=x2+2ax-3.‎ ‎(1)如果f(a+1)-f(a)=9,求a的值;‎ ‎(2)问a为何值时,函数的最小值是-4?‎ ‎[解析] (1)∵f(a+1)-f(a)=(a+1)2+‎2a(a+1)-3-(a2+‎2a2-3)=‎4a+1=9,∴a=2.‎ ‎(2)∵由=-4,‎ 7‎ 得a2=1,∴a=±1.‎ ‎10.已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(a≠0)的图像与y轴交于点(0,1),且满足f(-2+x)=f(-2-x)(x∈R).‎ ‎(1)求该二次函数的解析式;‎ ‎(2)已知函数在(t-1,+∞)上是增加的,求实数t的取值范围.‎ ‎[解析] (1)由函数f(x)的图像与y轴交于点(0,1),知c=1.‎ ‎∵f(-2+x)=f(-2-x),‎ ‎∴函数f(x)的对称轴x=-=-=-2.‎ ‎∴a=.∴f(x)=x2+2x+1.‎ ‎(2)∵函数f(x)在(t-1,+∞)上是增加的,‎ ‎∴t-1≥-2.∴t≥-1.‎ ‎11.(1)当-2≤x≤2时,求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值.‎ ‎(2)当1≤x≤2时,求函数y=-x2-x+1的最大值和最小值.‎ ‎(3)当x≥0时,求函数y=-x(2-x)的取值范围.‎ ‎[解析] (1)作出函数的图像,如图(1),开口向上,对称轴为x=1,‎ 所以当x=1时,ymin=-4;‎ 当x=-2时,ymax=5.‎ ‎(2)作出函数的图像,如图(2),开口向下,对称轴为x=-.‎ 所以当x=1时,ymax=-1;‎ 当x=2时,ymin=-5.‎ ‎(3)作出函数y=-x(2-x)=x2-2x在x≥0时的图像,如图(3).‎ 可以看出:当x=1时,ymin=-1,无最大值.‎ 所以,当x≥0时,函数的取值范围是y≥-1.‎ 一、选择题 ‎1.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则(  )‎ A.a>0,‎4a+b=0 B.a<0,‎4a+b=0‎ 7‎ C.a>0,‎2a+b=0 D.a<0,‎2a+b=0‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由题意得f(0)=c,f(4)=‎16a+4b+c=c,‎ 即‎16a+4b=0,‎4a+b=0,f(1)=a+b+c,‎ 因为f(4)>f(1),所以a+b<0,a>0,故选A.‎ ‎2.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的取值范围是(  )‎ A.f(1)≥25 B.f(1)=25‎ C.f(1)≤25 D.f(1)>25‎ ‎[答案] A ‎[解析] f(x)=4x2-mx+5在[,+∞)上是增加的,故[-2,+∞)⊆[,+∞),‎ 即-2≥,∴m≤-16.∴f(1)=9-m≥25.‎ 二、填空题 ‎3.设函数f(x)=4x2-(a+1)x+5在[-1,+∞)上是增加的,在(-∞,-1]上是减少的,则f(-1)=________.‎ ‎[答案] 1‎ ‎[解析] ∵=-1,∴a=-9.‎ ‎∴f(-1)=4×(-1)2+8×(-1)+5=1.‎ ‎4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图像如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为________.‎ ‎[答案] 3或-1‎ ‎[解析] 由图像知f(3)=0,‎ ‎∴m=3.‎ 由-x2+2x+3=0得x2-2x-3=0,∴x=3或-1.‎ 三、解答题 ‎5.已知函数y=x2-2x+3在[0,m]上的最大值为3,最小值为2,求实数m 7‎ 的取值范围.‎ ‎[解析] y=x2-2x+3=(x-1)2+2,作出如下函数图像:‎ 图像的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,2).‎ ‎∵函数的最小值为2,‎ ‎∴1∈[0,m].‎ 又∵当y=3时,‎ 解x2-2x+3=3,得x=0或x=2.‎ 再观察图像得:1≤m≤2.‎ ‎6.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)若f(x)在区间[‎2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒在y=2x+‎2m+1的图像上方,试确定实数m的取值范围.‎ ‎[解析] (1)由f(0)=f(2)知二次函数f(x)的图像关于x=1对称,f(x)的最小值为1,‎ 故可设f(x)=a(x-1)2+1,‎ 因为f(0)=3,得a=2,故f(x)=2x2-4x+3.‎ ‎(2)要使函数不单调,则‎2a<12x+‎2m+1,‎ 化简得x2-3x+1-m>0.‎ 设g(x)=x2-3x+1-m,则只要g(x)min>0,‎ 因为x∈[-1,1]时,g(x)是减少的,‎ 所以g(x)min=g(1)=-1-m,‎ 因此有-1-m>0,得m<-1.‎ ‎7.设f(x)=x2+ax+3-a,且f(x)在闭区间[-2,2]上恒取非负数,求a的取值范围.‎ ‎[解析] f(x)=2+3-a-,f(x)≥0在x∈[-2,2]恒成立的条件是f(x)在x∈[-2,2]上的最小值非负.‎ ‎(1)当-<-2,即a>4时,f(x)在[-2,2]上是增函数,最小值为f(-2)=7-‎3a,由7-‎ 7‎ ‎3a‎≥0,得a≤,这与a>4矛盾,此时a不存在.‎ ‎(2)当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,f(x)在[-2,2]上的最小值为f=3-a-,3-a-≥0⇒a2+‎4a-12≤0,∴-6≤a≤2.‎ 结合-4≤a≤4,可知此时-4≤a≤2.‎ ‎(3)当->2,即a<-4时,f(x)在[-2,2]上是减函数,最小值为f(2)=7+a,由7+a≥0,得a≥-7.‎ ‎∵a<-4,∴-7≤a<-4.‎ 由(1)(2)(3)可知,a的取值范围是[-7,2].‎ ‎8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数g(x)=-bx(b≠0),其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R).‎ ‎(1)求证:两函数的图像交于不同的两点;‎ ‎(2)求证:方程f(x)-g(x)=0的两个实数根都小于2.‎ ‎[解析] (1)若f(x)-g(x)=0,则ax2+2bx+c=0,‎ ‎∵Δ=4b2-‎4ac=4(-a-c)2-‎‎4ac ‎=4[(a-)2+c2]>0,‎ 故两函数的图像交于不同的两点.‎ ‎(2)设h(x)=f(x)-g(x)=ax2+2bx+c,令h(x)=0可得ax2+2bx+c=0.由(1)可知,Δ>0.‎ ‎∵a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R),∴a>0,c<0,‎ ‎∴h(2)=‎4a+4b+c=4(-b-c)+4b+c=-‎3c>0,‎ ‎-===1+<2,‎ 即有,结合二次函数的图像可知,‎ 方程f(x)-g(x)=0的两个实数根都小于2.‎ ‎9.某地区上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55 0.75元/度之间,经测算,若电价调到x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元/度)成反比例.又当x=0.65元/度时,y=0.8.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)若每度电的成本价为0.3元/度,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20 ?(收益=用电量×(实际电价-成本价)) .‎ ‎[解析] (1)∵y与x-0.4成反比例,‎ 7‎ ‎∴设y=( ≠0).‎ 将x=0.65,y=0.8代入上式,‎ 得0.8=,解得 =0.2.‎ ‎∴y==,‎ 即y与x之间的函数关系式为y=.(x≠)‎ ‎(2)根据题意,得(1+)·(x-0.3)‎ ‎=1×(0.8-0.3)×(1+20 ).‎ 整理,得x2-1.1x+0.3=0.‎ 解得x1=0.5,x2=0.6.‎ 经检验x1=0.5,x2=0.6都是所列方程的根.‎ ‎∵x的取值范围是0.55 0.75之间,‎ 故x=0.5不符合题意,应舍去.∴取x=0.6.‎ 当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20 .‎ 7‎