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- 2021-07-01 发布
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2.2.1
直线的点斜式方程
激趣诱思
知识点拨
在平面直角坐标系中
,
直线
l
过点
P
(0,3),
斜率
k=-
2,
Q
(
x
,
y
)
是直线
l
上不同于
P
的任意一点
,
如图所示
.
由于
P
,
Q
都在
l
上
,
所以可以用
P
,
Q
的坐标来表示直线
l
的斜率
,
=
2,
即得方程
y=
2
x+
3
.
这表明直线
l
上任一点的坐标
(
x
,
y
)
都满足
y=
2
x+
3
.
那么满足方程
y=
2
x+
3
的每一组
(
x
,
y
)
所对应的点也都在直线
l
上吗
?
激趣诱思
知识点拨
一、直线的点斜式
方程
名师点析
1
.
点斜式应用的前提是直线的斜率存在
,
若斜率不存在
,
则不能应用此式
.
2
.
点斜式方程中的点只要是这条直线上的点
,
哪一个都可以
.
3
.
当直线与
x
轴平行或重合时
,
方程可简写为
y=y
0
.
特别地
,
x
轴的方程是
y=
0;
当直线与
y
轴平行或重合时
,
不能应用点斜式方程
.
此时可将方程写成
x=x
0
.
特别地
,
y
轴的方程是
x=
0
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线
l
的点斜式方程是
y-
2
=
3(
x+
1),
则直线
l
的斜率是
(
)
A.2
B.-1
C.3
D
.-3
答案
:
C
答案
:
不一样
.
后者表示过点
(
x
0
,
y
0
)
且斜率为
k
的一条直线
,
前者是这条直线上挖去了一个点
(
x
0
,
y
0
)
.
激趣诱思
知识点拨
二、直线的斜截式
方程
名师点析
1
.
直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况
.
2
.
截距是一个实数
,
它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标
,
可以为正数、负数和
0
.
当直线过原点时
,
它的横截距和纵截距都为
0
.
3
.
由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距
,
如直线
y=
2
x-
1
的斜率
k=
2,
纵截距为
-
1
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线
l
的斜截式方程是
y=-
2
x+
3,
则直线
l
在
y
轴上的截距为
.
答案
:
3
微思考
一次函数的解析式
y=kx+b
与直线的斜截式方程
y=kx+b
有什么不同
?
答案
:
一次函数的
x
的系数
k
≠0,
否则就不是一次函数了
;
直线的斜截式方程
y=kx+b
中的
k
可以为
0
.
激趣诱思
知识点拨
三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
对于直线
l
1
:
y=k
1
x+b
1
,
l
2
:
y=k
2
x+b
2
,
l
1
∥
l
2
⇔
k
1
=k
2
,
且
b
1
≠
b
2
;
l
1
⊥
l
2
⇔
k
1
k
2
=-
1
.
名师点析
两直线的斜率之积为
-
1,
则两直线一定垂直
;
两条直线的斜率相等
,
两直线不一定平行
,
还可能重合
.
微练习
已知直线
l
1
:
y=x+
2
与
l
2
:
y=-
2
ax+
1
平行
,
则
a=
.
探究一
探究二
当堂检测
直线的点斜式方程
例
1
求满足下列条件的直线方程
:
(1)
经过点
(2,
-
3),
倾斜角是直线
y
= x
倾斜角的
2
倍
;
(2)
经过点
P
(5,
-
2),
且与
y
轴平行
;
(3)
过
P
(
-
2,3),
Q
(5,
-
4)
两点
.
思路分析
:
先求出直线的斜率
,
然后由点斜式写出方程
.
探究一
探究二
当堂检测
(2)
与
y
轴平行的直线
,
其斜率
k
不存在
,
不能用点斜式方程表示
.
但直线上点的横坐标均为
5,
故直线方程可记为
x=
5
.
∵
直线过点
P
(
-
2,3),
∴
由直线的点斜式方程可得直线方程为
y-
3
=-
(
x+
2),
即
x+y-
1
=
0
.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
点斜式方程的求法
(1)
求直线的点斜式方程
,
关键是求出直线的斜率
,
所以
,
已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标
,
均可求出直线的方程
.
(2)
斜率不存在时
,
可直接写出过点
(
x
0
,
y
0
)
的直线方程
x=x
0
.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练
1
直线
l
1
的倾斜角为
135
°
,
直线
l
2
经过点
B
(
-
1,4)
.
求满足下列条件的直线
l
2
的方程
.
(1)
直线
l
2
∥
l
1
;
(2)
直线
l
2
⊥
l
1
.
解
:
(1)
由已知直线
l
1
的斜率
k
1
=
tan
135
°
=-
1
.
因为
l
2
∥
l
1
,
所以直线
l
2
的斜率
k
2
=k
1
=-
1
.
又直线
l
2
经过点
B
(
-
1,4),
代入点斜式方程得
y-
4
=-
1
×
[
x-
(
-
1)],
即
y=-x+
3
.
(2)
由已知直线
l
1
的斜率
k
1
=
tan
135
°
=-
1
.
又直线
l
2
经过点
B
(
-
1,4),
代入点斜式方程得
y-
4
=
1
×
[
x-
(
-
1)],
即
y=x+
5
.
探究一
探究二
当堂检测
直线的斜截式方程
例
2
求满足下列条件的直线方程
:
(1)
经过点
(0,
-
2),
且与直线
y=
3
x-
5
垂直
;
(2)
与直线
y=-
2
x+
3
平行
,
与直线
y=
4
x-
2
在
y
轴上的截距相同
.
思路分析
:
写出直线的斜率及在
y
轴上的截距
,
用斜截式写出直线方程
.
解
:
(1)
因为直线
y=
3
x-
5
的斜率为
3,
且所求直线与该直线垂直
,
所以所求直线斜率为
- .
又直线过点
(0,
-
2),
由直线方程的斜截式
,
得
y=- x-
2
,
即
x+
3
y+
6
=
0
.
(2)
直线
y=-
2
x+
3
的斜率为
-
2,
直线
y=
4
x-
2
在
y
轴上的截距为
-
2
.
由题意知
,
所求直线的斜率为
-
2,
在
y
轴上的截距也为
-
2
.
由直线方程的斜截式
,
得
y=-
2
x-
2,
即
2
x+y+
2
=
0
.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
斜截式方程的求法
已知直线的斜率与
y
轴上的截距
,
可直接写出直线的方程
;
已知直线的斜截式方程
,
可得直线的斜率与
y
轴上的截距
.
直线的斜截式方程形式简单
,
特点明显
,
是运用较多的直线方程的形式之一
.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
1
.
与直线
y=
3
x+
1
垂直
,
且过点
(2,
-
1)
的直线的斜截式方程是
(
)
答案
:
B
2
.
无论
k
取何值
,
直线
y-
2
=k
(
x+
1)
所过的定点是
.
答案
:
(
-
1,2)
3
.
直线
l
的倾斜角为
45
°
,
在
y
轴上的截距为
-
2
的直线方程为
.
答案
:
y=x-
2
探究一
探究二
当堂检测
4
.
直线
l
1
与直线
l
2
:
y=
3
x+
1
平行
,
又直线
l
1
过点
(3,5),
则直线
l
1
的方程为
.
解析
:
∵
直线
l
2
的斜率
k
2
=
3,
l
1
与
l
2
平行
,
∴
直线
l
1
的斜率
k
1
=
3
.
又直线
l
1
过点
(3,5),
∴
l
1
的方程为
y-
5
=
3(
x-
3),
即
y=
3
x-
4
.
答案
:
y=
3
x-
4
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