2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 10页

www.ks5u.com ‎11．2　平面的基本事实与推论 ‎[课程目标] 1.熟练掌握平面的基本事实； 2.掌握平面基本事实的三个推论，会用三种语言表述推论．‎ 知识点　　平面的基本事实及推论 ‎[填一填]‎ ‎ [答一答]‎ 基本事实1、基本事实2、基本事实3的意义和作用是什么？‎ 提示：(1)基本事实1是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．‎ ‎(2)基本事实2说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．‎ ‎(3)基本事实3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．‎ 类型一　　数学语言的转换 ‎[例1]　将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．‎ α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.‎ ‎[解]　文字语言叙述为：‎ 点A在平面α与平面β的交线l上，AB，AC分别在平面α，β内．图形语言表示为如图．‎ 符号语言简洁，层次感强.文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来.教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述.‎ 图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用.‎ 各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便.‎ ‎[变式训练1]　用符号表示下列语句，并画出图形．‎ ‎(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；‎ ‎(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.‎ 解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示：如图①.‎ ‎(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：如图②.‎ 类型二　　共面问题 ‎[例2]　求证：两两相交且不共点的四条直线共面．‎ ‎[分析]　可尝试先证明其中两条直线确定一个平面，然后证明其他直线也在此平面内．‎ ‎[证明]　①没有三线共点情况，如图(1)所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.‎ ‎∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.‎ ‎∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQ⊂α，即b⊂α.‎ 同理c⊂α，∴a，b，c，d共面．‎ ‎②有三线共点的情况，如图(2)所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且K∉a，‎ ‎∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β.‎ ‎∵N∈a，a⊂β，∴N∈β.∴NK⊂β，即b⊂β.‎ 同理c⊂β，d⊂β，∴a，b，c，d共面．‎ 由①②知，a，b，c，d共面．‎ ‎1.证明线共面问题往往先利用条件确定一个平面.再证明其余线都在此平面内，也可以证明两个平面重合.‎ ‎2.基本事实1是确定平面的依据，基本事实2是确定线在已确定的平面上的依据.‎ ‎[变式训练2]　一条直线与三条平行直线都相交．求证：这四条直线共面．‎ 证明：因为a∥b，所以a和b确定一个平面α.‎ 因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故l⊂α.‎ 又a∥c，所以a和c确定一个平面β.同理l⊂β.‎ 即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，‎ 即直线a，b，c，l共面．‎ 类型三　　共线共点问题 ‎[例3]　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示，求证：P、Q、R三点共线．‎ ‎[证明]　证法1：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.‎ 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.‎ ‎∴点P在平面ABC与平面α的交线上．‎ 同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．‎ ‎∴P、Q、R三点共线．‎ 证法2：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.‎ 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，‎ ‎∴平面APR∩平面α＝PR.‎ ‎∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.‎ ‎∴Q∈平面APR，又∵Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．‎ 证明多点共线的方法是利用基本事实3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上.证法二的思路为P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法.‎ ‎[变式训练3]　如图所示，在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC＝DHHA＝23.‎ 求证：直线EF、GH、BD交于一点．‎ 证明：∵E、G分别为BC、AB的中点，∴GE∥AC.‎ 又∵DFFC＝DHHA＝23，‎ ‎∴FH∥AC，从而FH∥GE.‎ 故E、F、H、G四点共面．‎ ‎∵AGGB＝11，AHHD＝32，∴AGGB≠AHHD.‎ ‎∴GH不平行于BD.同理，EF不平行于BD.‎ ‎∵FH≠GE，∴GH不平行于EF.‎ ‎∴四边形EFHG是一个梯形，设GH和EF交于一点O.‎ ‎∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，‎ ‎∴O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，∴点O在直线BD上．‎ ‎∴EF、GH、BD交于一点．‎ 类型四　交线问题 ‎[例4]　如图所示，G是正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱DD1延长线上一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线，并说明画法．‎ ‎(1)过点G及直线AC；‎ ‎(2)过三点E，F，D1.‎ ‎[解]　(1)画法：连接GA交A1D1于点M；连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．‎ ‎(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D‎1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．‎ ‎　　‎ 画两平面的交线时，关键是找到这两个平面的两个公共点，这两个公共点的连线即是交线.在找公共点的过程中往往要借助于基本事实2和基本事实3，一般是用基本事实2找到，再用基本事实3证明.‎ ‎[变式训练4]　在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1、C1、P三点所确定的平面α与长方体表面的交线，并作出平面α与平面ABCD的交线．‎ 解：平面α与长方体表面的交线，如右图．‎ 平面α与平面ABCD的交线可以这样确定：如图，延长C1P则它与CB一定相交，设交点为点M，则M是平面α与平面ABCD的一个公共点，延长A1P交AB于点N，则N也是平面α与平面ABCD的一个公共点，故MN就是两平面的交线．‎ ‎1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表达正确且为真命题的个数是(　A　)‎ ‎①A∈a，a⊄α⇒A∉α.　 　②A∈a，a∈α⇒A∈α.‎ ‎③A∉a，a⊂α⇒A∉α. ④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：①中，若a∩α＝A，则A∈α，∴①错；‎ ‎②中，a∈α的符号错误，应为a⊂α，∴②错；‎ ‎③中，A可以在平面α内直线a以外的其余点处，故③错；‎ ‎④中，A∈a，a⊂α，∴A∈α，这里A⊂α的符号错．‎ ‎2．若一直线a在平面α内，则正确的作图是(　A　)‎ 解析：B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交．‎ ‎3．给出以下结论，其中正确的个数是(　B　)‎ ‎①在空间中，若四点中任何三点不共线，则此四点不共面．‎ ‎②如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则l⊂α.‎ ‎③已知三个平面α、β、γ两两相交，并且它们的交线交于一点，那么平面α、β、γ可将空间分成八部分．‎ A．1 B．2‎ C．3 D．0‎ 解析：①错误，平行四边形ABCD四个顶点中，任意三点不共线，但这四点共面；②直线l即直线MN，∵M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，∴M∈α，N∈α，∴l⊂α正确．③正确，如墙角．‎ ‎4．在空间中，可以确定一个平面的条件的序号有④.‎ ‎①两两相交的三条直线．‎ ‎②三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交．‎ ‎③三个点．‎ ‎④三条直线，它们两两相交，但不交于同一点．‎ 解析：①‎ 中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除①；‎ ‎②中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除②；‎ ‎③中的三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，故排除③；‎ ‎④中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一直线上，由基本事实1知其确定一个平面．‎