高考数学专题复习教案： 等差数列及其前n项和备考策略 3页

等差数列及其前n项和备考策略 主标题：等差数列及其前n项和备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：等差数列，等差数列前n项和，等差数列的判断，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　等差数列的基本量的求解 ‎【例1】 在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.‎ 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.‎ 解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.‎ ‎(2)由(1)可知an＝3－2n.‎ 所以Sn＝＝2n－n2.‎ 进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.‎ 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或－5.‎ 又k∈N*，故k＝7为所求．‎ ‎【备考策略】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ 考点二　等差数列的判定与证明 ‎【例2】若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：成等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 点拨　(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为关于Sn与Sn－1的式子⇒同除Sn·Sn－1⇒利用定义证明⇒得出结论．‎ ‎(2)由(1)求⇒再求Sn⇒再代入条件an＝－2SnSn－1，求an⇒验证n＝1的情况⇒得出结论．‎ ‎(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，‎ 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，‎ 又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式．‎ 故an＝ ‎【备考策略】 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．‎ 考点三　等差数列的性质及应用 ‎【例3】 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(　　)．‎ A．－6 B．－4 C．－2 D．2‎ ‎(2)在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为________．‎ 解析　(1)S8＝4a3⇒＝4a3⇒a3＋a6＝a3，∴a6＝0，∴d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6.‎ ‎(2)记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，S2m－Sm＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所以S3m＝110＋100＝210.‎ 答案　(1)A　(2)210‎ ‎【备考策略】巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．‎ 考点四 等差数列的性质及最值 ‎【例4】已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是(　　)‎ A．18 B．19‎ C．20 D．21‎ ‎[解析]　a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝20.‎ ‎【备考策略】求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．‎ ‎(2)邻项变号法：‎ ‎①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；‎ ‎②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.‎