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- 2021-07-01 发布
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课时达标训练(二十) 函数与导数的综合问题
A组
1.(2019·南通等七市二模)已知函数f(x)=2ln x+x2-ax,a∈R.
(1)当a=3时,求函数f(x)的极值.
(2)设函数f(x)的图象在x=x0处的切线方程为y=g(x),若函数y=f(x)-g(x)是(0,+∞)上的增函数,求x0的值.
(3)是否存在一条直线与函数f(x)的图象相切于两个不同的点?并说明理由.
解:(1)当a=3时,f(x)=2ln x+x2-3x(x>0),
f′(x)=+x-3=,
令f′(x)=0得,x=1或x=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示,
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
所以函数f(x)的极大值为f(1)=-,极小值为f(2)=2ln 2-4.
(2)依题意,知切线方程为y=f′(x0)(x-x0)+f(x0)(x0>0),
从而g(x)=f′(x0)(x-x0)+f(x0)(x0>0),
记p(x)=f(x)-g(x),
则p(x)=f(x)-f(x0)-f′(x0)(x-x0)在(0,+∞)上为增函数,
所以p′(x)=f′(x)-f′(x0)≥0在 (0,+∞)上恒成立,
即p′(x)=-+x-x0≥0在(0,+∞)上恒成立,
即x+≥x0+在(0,+∞)上恒成立,
因为x+≥2=2(当且仅当x=时,等号成立),
所以2≥x0+,从而(x0-)2≤0,所以x0=.
(3)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1,y1),T2(x2,y2),
不妨设0p(1)=0.
从而①式不可能成立,所以假设不成立,即不存在一条直线与函数f(x)的图象相切于两个不同的点.
2.(2019·苏北三市期末)已知函数f(x)=(x-a)ln x(a∈R).
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若对于任意的正数x,f(x)≥0恒成立,求实数a的值;
(3)若函数f(x)存在两个极值点(极值点是函数取极值时对应的自变量的值),求实数a的取值范围.
解:(1)因为f(x)=(x-a)ln x(a∈R),
所以当a=1时,f(x)=(x-1)ln x,
则f′(x)=ln x+1-,
当x=1时,f(1)=0,f′(1)=0,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=0.
(2)因为对于任意的正数x,f(x)≥0恒成立,
所以当ln x=0,即x=1时,f(x)=0,a∈R;
当ln x>0,即x>1时,x≥a恒成立,所以a≤1;
当ln x<0时,即00,所以g(x)单调递增,至多一个零点,不合题意.
当a<0时,因为x∈(0,-a)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
x∈(-a,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)min=g(-a)=ln( -a)+2.
因为g(x)存在两个不相等的零点,
所以ln(-a)+2<0,解得-e-2e2>-a.
因为g=ln+a2+1>0,
所以g(x)在(-a,+∞)上存在一个零点.
因为-e-22ln+e2+1=e2-3>0,
所以g(a2)=ln a2-+1>0,
所以g(x)在(0,-a)上存在一个零点.
综上可知,实数a的取值范围为(-e-2,0).
3.(2017·江苏高考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:b2>3a;
(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.
解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,
得f′(x)=3x2+2ax+b=3+b-.
当x=-时,f′(x)有极小值b-.
因为f′(x)的极值点是f(x)的零点,
所以f=-+-+1=0,
又a>0,故b=+.
因为f(x)有极值,故f′(x)=0有实根,
从而b-=(27-a3)≤0,即a≥3.
当a=3时,f′(x)>0(x≠-1),
故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;
当a>3时,f′(x)=0有两个相异的实根
x1=,x2=.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
故f(x)的极值点是x1,x2.
从而a>3.
因此b=+,定义域为(3,+∞).
(2)证明:由(1)知,=+ .
设g(t)=+,则g′(t)=-=.
当t∈时,g′(t)>0,
从而g(t)在上单调递增.
因为a>3,所以a>3,
故g(a)>g(3)=,即 >.
因此b2>3a.
(3)由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,x+x=.
从而f(x1)+f(x2)=x+ax+bx1+1+x+ax+bx2+1=(3x+2ax1+b)+(3x+2ax2+b)+a(x+x)+b(x1+x2)+2
=-+2=0.
记f(x),f′(x)所有极值之和为h(a),
因为f′(x)的极值为b-=-a2+,
所以h(a)=-a2+,a>3.
因为h′(a)=-a-<0,
于是h(a)在(3,+∞)上单调递减.
因为h(6)=-,于是h(a)≥h(6),故a≤6.
因此a的取值范围为(3,6].
4.(2019·常州期末)已知函数m(x)=x2,函数n(x)=aln x+1(a∈R).
(1)若a=2,求曲线y=n(x)在点(1,n(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)=m(x)-n(x)有且只有一个零点,求实数a的取值范围;
(3)若函数g(x)=n(x)+ex-ex-1≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数,e≈2.718 28…)
解:(1)当a=2时,n(x)=2ln x+1,∴n′(x)=,
∴n′(1)=2,又n(1)=1,
∴切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
(2)f(x)=x2-aln x-1,定义域为(0,+∞),其图象是一条连续的曲线.
f′(x)=2x-=.
①若a≤0,则f′(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,
此时f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=0,
∴此时f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,符合题意.
②若a>0,令f′(x)=0,得x=或x=-(舍去).
当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表所示:
x
f′(x)
-
0
+
f(x)
极小值
若>1,即a>2,此时a>,则f0对于a∈[2,+∞)恒成立,
∴F2(a)=2a-ln a-1在[2,+∞)上单调递增,∴F2(a)≥F2(2)=3-ln 2>0,
即F1′(a)>0对于a∈[2,+∞)恒成立,
∴F1(a)=a2-aln a-1在[2,+∞)上单调递增,
∴F1(a)≥F1(2)=3-2ln 2>0,即f(a)>0,
∵f<0,且函数f(x)在上单调递增,
∴函数f(x)在上有且只有一个零点,
而函数f(x)在上单调递减,且f(1)=0,
故当>1时,函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点,不符合题意.
若=1,即a=2,
则函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
又f(1)=0,∴f(x)≥f(1)=0,
故当=1时,函数f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,符合题意.
若0<<1,即00,∴函数f(x)在(0,1)内必有零点,
∴不符合题意.
综上,实数a的取值范围是{a|a≤0或a=2}.
(3)g(x)=aln x+ex-ex(x≥1).
令G(x)=ex-ex,x≥1,则G′(x)=ex-e≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,
∴函数G(x)在[1,+∞)上单调递增,∴G(x)≥G(1)=0.
①若a≥0,则当x≥1时,g(x)=aln x+ex-ex≥0恒成立,符合;
②若a<0,g′(x)=+ex-e,令H(x)=+ex-e,x≥1,则H′(x)=ex->0恒成立,
∴H(x)=+ex-e在[1,+∞)上单调递增.
∵a<0,∴1-a>1,
∴G(1-a)>G(1)=0,即e1-a>e(1-a),
∴H(1-a)=+e1-a-e>+e-ea-e=-ea=+(1-a)-2-(e-1)a,
∵a<0,1-a>1,∴+(1-a)>2,(e-1)a<0,
∴H(1-a)>0.
∵H(x)=+ex-e在[1,+∞)上单调递增,其图象是一条连续的曲线,且H(1)=a<0,∴存在唯一的x0∈(1,1-a),使得H(x0)=0,即g′(x0)=0,
当x∈(1,x0)时,g′(x)<0,∴函数g(x)在(1,x0)上单调递减,
∴当x∈(1,x0)时,g(x)0,
∴函数y=f(x)g(x)在区间[1,2]上单调递增等价于对任意的x∈[1,2],函数m(x)≥0恒成立,
∴解得a≥-3.
(3)h(x)==,
h′(x)=,
令r(x)=ex(-x2+3x-3)-a,
∵h(x)在(0,+∞)上既存在极大值又存在极小值,
∴h′(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根,
即r(x)=ex(-x2+3x-3)-a=0在(0,+∞)上有两个不等实根x1,x2,不妨令x1<x2.
∵r′(x)=ex(-x2+3x-3-2x+3)=ex(-x2+x)=x(1-x)ex,
∴当x∈(0,1)时,r′(x)>0,r(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,r′(x)<0,r(x)单调递减,
则00,f(x)单调递增,
当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
故函数f(x)有唯一的极(大)值点.
若a≠0,记m(x)=ax2-(3-a)x+1,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9,
当1≤a≤9时,Δ≤0,f′(x)≥0,函数f(x)单调递增,无极值点.
当a<0时,Δ>0,由于两根之积小于0,所以m(x)的两个根一正一负,设正根为x0,则x0为函数f(x)的唯一极值点.
当00,m(x)有两个大于零的根,故f(x)有两个极值点.
当a>9时,Δ>0,m(x)有两个小于零的根,故f(x)无极值点,
综上所述,当a≥1时,函数f(x)无极值点;
当a≤0时,函数f(x)有唯一极值点;
当01,且
解得x1=,x2=,
所以x1+x2=·.
令h(x)=,x∈(1,+∞),则h′(x)=.
令u(x)=-2ln x+x-,则u′(x)=-+1+=>0,则u(x)单调递增,
故对任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,
由此可得h′(x)>0,故h(x)在(1,+∞)上单调递增.
因此,x1+x2随着t的增大而增大.
3.(2019·南京三模)已知函数f(x)=ln x++1,a∈R.
(1)若函数f(x)在x=1处的切线为y=2x+b,求a,b的值;
(2)记g(x)=f(x)+ax,若函数g(x)在区间上有最小值,求实数a的取值范围;
(3)当a=0时,关于x的方程f(x)=bx2有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
解:(1)f′(x)=-,则f′(1)=1-a=2,解得a=-1,则f(x)=ln x-+1,
此时f(1)=ln 1-1+1=0,则切点坐标为(1,0),
代入切线方程,得b=-2,
所以a=-1,b=-2.
(2)g(x)=f(x)+ax=ln x++ax+1,g′(x)=-+a=.
①当a=0时,g′(x)=>0,g(x)在区间上为增函数,则g(x)在区间上无最小值.
②当a≠0时,方程ax2+x-a=0的判别式Δ=1+4a2>0,
则方程ax2+x-a=0有两个不相等的实数根,设为x1,x2,
x1,2=,则x1x2=-1,两根一正一负,不妨令x1<00),
(ⅰ)当 a>0时,若x2∈,则m(0)=-a<0,m=+-a>0,解得00,则g(x)单调递增,
所以当x=x2时,g(x)取极小值,即最小值.
若x2≥,则x∈时,m(x)<0,g(x)在上单调递减,无最小值.
(ⅱ)当a<0时,
若x∈(0,x2),则m(x)>0,g(x)单调递增,
若x∈(x2,+∞),则m(x)<0,g(x)单调递减,
所以在区间上,g(x)不会有最小值,
所以a<0不满足条件.
综上,实数a的取值范围是.
(3)当a=0时,由方程f(x)=bx2,得ln x+1-bx2=0,
记h(x)=ln x+1-bx2,x>0,则h′(x)=-2bx=.
①当b≤0时,h′(x)>0恒成立,即h(x)在(0,+∞)上为增函数,
则函数h(x)至多只有一个零点,即方程f(x)=bx2至多只有一个实数根,所以b≤0不符合题意.
②当b>0时,
若x∈,则h′(x)>0,所以函数h(x)单调递增,
若x∈,则h′(x)<0,所以函数h(x)单调递减,所以h(x)max=h=ln+.
若方程f(x)=bx2有两个不相等的实数根,
则h=ln+>0,解得00,所以>,
所以存在唯一的x2∈,使得h(x2)=0,
综上,实数b的取值范围是.
4.对于函数f(x),在给定区间[a,b]内任取n+1(n≥2,n∈N*)个数x0,x1,x2,…,xn使得a=x0
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