高三数学总复习学案68 10页

学案 68　离散型随机变量的均值与方差 导学目标： 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散 型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 自主梳理 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称 E(X) ＝ ____________________________________ 为 随 机 变 量 X 的 均 值 或 ___________，它反映了离散型随机变量取值的____________． (2)方差 称 D(X)＝__________________________为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与 其均值 E(X)的______________，其________________________为随机变量 X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝____________. (2)D(aX＋b)＝____________.(a，b 为实数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝____，D(X)＝_____________________________. (2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝______，D(X)＝____________. 自我检测 1．若随机变量 X 的分布列如下表，则 E(X)等于(　　) X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. 1 18 B.1 9 C.20 9 D. 9 20 2．(2011·菏泽调研)已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项 分布的参数 n，p 的值为(　　) A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4 C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1 3．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的 种子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为(　　) A．100 B．200 C．300 D．400 4．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简 历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2 3，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三 个公司是否让其面试是相互独立的，记 X 为该毕业生得到面试的公司个数．若 P(X＝0)＝ 1 12，则随机变量 X 的数学期望 E(X)＝________. 5．(2011·杭州月考)随机变量 ξ 的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列．若 E(ξ)＝1 3，则 D(ξ)＝________. 探究点一　离散型随机变量的期望与方差 例 1 　袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n＝ 1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ 表示所取球的标号． (1)求 ξ 的分布列、期望和方差； (2)若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值． 变式迁移 1　编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个 座位，设与座位编号相同的学生的个数是 X. (1)求随机变量 X 的分布列； (2)求随机变量 X 的数学期望和方差． 探究点二　二项分布的期望与方差 例 2 　(2011·黄山模拟)A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试 验．每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效．若在 一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组．设 每只小白鼠服用 A 有效的概率为2 3，服用 B 有效的概率为1 2. (1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察 3 个试验组，用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求 ξ 的分布列和数学期 望． 变式迁移 2　某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独 立的，遇到红灯的概率都是1 3，遇到红灯时停留的时间都是 2 min. (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ 的分布列及期望． 探究点三　离散型随机变量期望与方差的应用 例 3 　购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买 保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有 10 000 人购买了 这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1－ . (1)求一投保人在一年度内出险的概率 p； (2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不 小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)． 变式迁移 3　因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树 的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前 的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量 的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾 前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产 量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令 ξi(i＝ 1,2)表示方案 i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． (1)写出 ξ1、ξ2 的分布列； (2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ (3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计 利润分别为 10 万元、15 万元、20 万元．问实施哪种方案的平均利润更大？ 1．若 η＝aξ＋b，则 E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)． 2．若 ξ～B(n，p)，则 E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)． 3．求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1)已知随机变量的分布列求它的期 4100.999 望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量 ξ 的期望、方差，求 ξ 的线性函数 η＝aξ＋b 的期望、方差和标准差，可直接用 ξ 的期望、方差的性质求解；(3) 如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它 们的期望、方差公式求解． (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．(2011·福州质检)已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且 E(ξ)＝6.3，则 a 的值为 (　　) ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B．6 C．7 D．8 2．设 ξ～B(n，p)，若有 E(ξ)＝12，D(ξ)＝4，则 n、p 的值分别为(　　) A．18，2 3 B．16，1 2 C．20，1 6 D．15，1 4 3．随机变量 X 的分布列为 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则 E(5X＋4)等于(　　) A．15 B．11 C．2.2 D．2.3 4．设掷 1 枚骰子的点数为 ξ，则(　　) A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝35 12 C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝35 16 5．(2011·成都调研)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧，其中 a、 b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量 ξ 为“|a－b|的取值”，则 ξ 的数学期望 E(ξ)为(　　) A.8 9 B.3 5 C.2 5 D.1 3 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！ ？ 请小牛同学计算 ξ 的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊， 但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案 E(ξ)＝____________. 7．(2011·泰安模拟)设离散型随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝ 1,2,3,4)．又 X 的均值 E(X)＝3，则 a＋b＝________. 8．两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 X 的数学期望 E(X)＝ ________. 三、解答题(共 38 分) 9．(12 分)(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工 资级别．公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料， 另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料．若 4 杯 都选对，则月工资定为 3 500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2 800 元；否则月工资定 为 2 100 元．令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数．假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能 力． (1)求 X 的分布列； (2)求此员工月工资的期望． 10．(12 分)(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛，甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘．已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5，0.5.假设 各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率； (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数，求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ)． 11．(14 分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为1 6、1 2、1 3；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调 整中，价格下降的概率都是 p(01.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0， 解得－0.4