2020高中数学 第一章 解三角形 1 9页

第2课时　角度问题 学习目标：1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点).2.会将实际问题转化为解三角形问题(难点).3.能根据题意画出几何图形(易错点)．‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图1218所示)．‎ 图1218‎ 方位角的取值范围：[0°，360°)．‎ ‎2．视角 从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角，如图1219所示，视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度．‎ 图1219‎ 思考：方位角的范围为什么不是(0，π)?‎ ‎[提示]　方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是[0,2π)．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)如图1220所示，该角可以说成北偏东110°.(　　)‎ 图1220‎ ‎(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.(　　)‎ - 9 -‎ ‎(3)方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　‎ 提示：(1)说成南偏东70°或东偏南20°.(2)方位角的范围是[0,2π)．‎ ‎2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是(　　) ‎ ‎【导学号：91432060】‎ A．α＞β　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°‎ B　[由仰角与俯角的水平线平行可知α＝β.]‎ ‎3．在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为60°，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为70°，则∠BAC等于(　　)‎ A．10° B．50°‎ C．120° D．130°‎ D　[如图所示：‎ ‎∠BAC＝130°.]‎ ‎4．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3公里到B处，再沿正东方向行走2公里到C处，则A、C两地的距离为________公里. ‎ ‎【导学号：91432061】‎ ‎7　[如图所示，由题意可知 AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.‎ 由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3×2·cos 150°＝49，AC＝7.所以A、C两地的距离为‎7公里．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 角度问题 ‎　(1)如图1221，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 (　　)‎ - 9 -‎ 图1221‎ A．北偏东10°　　　　　　 B．北偏西10°‎ C．南偏东80° D．南偏西80°‎ ‎(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为‎6 m，下底长为‎10 m，高为‎2‎m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是(　　) ‎ ‎【导学号：91432062】‎ A.，60° B.，60°‎ C.，30° D.，30°‎ ‎(1)D　(2)B　[(1)由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝‎10 m，CD＝‎6 m，高DE＝‎2 m，则AE＝＝‎2 m，‎ ‎∴tan ∠DAE＝＝＝，‎ ‎∴∠DAE＝60°.]‎ ‎[规律方法]　测量角度问题画示意图的基本步骤 ‎[跟踪训练]‎ ‎1．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是‎20 km/h；水的流向是正东，流速是‎20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.‎ ‎60°　20　[如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.]‎ - 9 -‎ 求航向的角度 ‎　在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？‎ 思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？‎ ‎②在△ABC中，能求出BC与∠ABC吗？‎ ‎③在△BCD中，如何求出∠BCD?‎ ‎[解]　设缉私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10t，BD＝10t，‎ 在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，‎ ‎∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos 120°＝6，‎ ‎∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝×＝，‎ ‎∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．‎ ‎∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，‎ 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝，‎ ‎∴∠BCD＝30°.‎ 即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．‎ ‎2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在上时，用正、余弦定理皆可．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a ‎ - 9 -‎ n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile? ‎ ‎【导学号：91432063】‎ ‎[解]　如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x n mile，‎ 则AC＝x，‎ 由正弦定理得sin θ＝＝，而θ<60°，‎ ‎∴θ＝30°，‎ ‎∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.‎ ‎∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.‎ 求解速度问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是‎4 km，从B到C，方位角是120°，距离是‎8 km，从C到D，方位角是150°，距离是‎3 km，试画出示意图．‎ 提示：如图所示：‎ ‎2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？‎ 提示：在上图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝＝4，则此人的最小速度为v＝＝8(km/h)．‎ ‎3．在探究1中若投递员以‎24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以‎16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？‎ 提示：投递员到达C点的时间为t1＝＝(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知 t2＝＝(小时)＝15分钟；由于30>15＋10，所以此人在C点能与投递员相遇．‎ ‎　如图1222，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B - 9 -‎ 处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值) ‎ ‎【导学号：91432064】‎ 图1222‎ 思路探究：根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决．‎ ‎[解]　设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，‎ 则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，‎ ‎∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，‎ 由余弦定理得，‎ ‎(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，‎ 即128t2－60t－27＝0，‎ 解得t＝或t＝－(舍去)，‎ ‎∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．‎ 根据正弦定理，‎ 得sin∠BAC＝＝，‎ 则cos∠BAC＝＝.‎ 又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，‎ sin θ＝sin(45°－∠BAC)‎ ‎＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin ∠BAC＝.‎ 母题探究：(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．‎ - 9 -‎ ‎[解]　设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°.‎ 由正弦定理得＝，‎ 即＝.‎ 所以x＝＝＝14(海里每小时)．‎ 故乙船的速度为‎14海里每小时．‎ ‎[规律方法]　解决实际问题应注意的问题 ‎(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.‎ ‎(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的(　　) ‎ ‎【导学号：91432065】‎ A．北偏西34°27′　　　B．北偏东55°33′‎ C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′‎ A　[由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.]‎ ‎2．如图1223所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ 图1223‎ A．北偏东5° B．北偏西10° C．南偏东5° D．南偏西10° ‎ B　[由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.]‎ ‎3．如图1224所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α<β)，则点A离地面的高度AB等于(　　)‎ - 9 -‎ 图1224‎ A. B. C. D. A　[结合图形可知∠DAC＝β－α.‎ 在△ACD中，由正弦定理得＝，‎ ‎∴AC＝＝.‎ 在Rt△ABC中，‎ AB＝ACsin β＝.]‎ ‎4．如图1225所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进‎100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝‎50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　) ‎ ‎【导学号：91432066】‎ 图1225‎ A. B. C.－1 D.－1‎ C　[在△ABC中，由正弦定理＝，‎ ‎∴AC＝100.‎ 在△ADC中，＝，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.]‎ ‎5．如图1226，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．‎ - 9 -‎ 图1226‎ ‎[解]　因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，‎ 所以∠APB＝30°，所以AP＝40，‎ 所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°‎ ‎＝402＋402－2×40×40×＝402×3，‎ 所以BP＝40.‎ 又∠PBC＝90°，BC＝80，‎ 所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200，‎ 所以PC＝‎40海里．‎ - 9 -‎