高中数学第7章（第10课时）两条直线的位置关系5 12页

课 题：7.3两条直线的位置关系（五）‎ 教学目的：‎ ‎1. 掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式；‎ ‎2.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 教学重点：两条直线平行和垂直的条件应用 教学难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题 授课类型：练习课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、知识点汇总： ‎ ‎1．特殊情况下的两直线平行与垂直．‎ 当两条直线中有一条直线没有斜率时：‎ ‎(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；‎ ‎(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直 ‎2．斜率存在时两直线的平行与垂直：‎ 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=且 ‎ 已知直线、的方程为：，‎ ‎：‎ ‎∥的充要条件是 ‎ ‎⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是．‎ 已知直线和的一般式方程为：，‎ ‎：，则．‎ ‎3.直线到的角的定义及公式：‎ 直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角. 到的角：0°＜＜180°， 如果如果， ‎ ‎4．直线与的夹角定义及公式: ‎ 到的角是, 到的角是π-,当与相交但不垂直时, 和π-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线⊥时,直线与的夹角是.夹角：0°＜≤90°‎ 如果如果， ‎ ‎5．两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：‎ 是否有惟一解 ‎6．点到直线距离公式：‎ 点到直线的距离为：‎ ‎7．两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线和的一般式方程为：，‎ ‎：，则与的距离为 ‎ 二、直线系方程 ‎8．直线系方程 若两条直线：，：‎ 有交点，则过与交点的直线系方程为＋或+ (λ为常数) ‎ 三、讲解范例：‎ 例1 两条直线和的交点在第四象限，则的取值范围是( )‎ A.（－6，2） B.（－，0） C.（－，－）D.（，＋∞)‎ 解法一：解方程组得交点为(－）‎ ‎∵此点在第四象限 ‎∴‎ ‎∴－，故选C.‎ 解法二：如图，直线与x轴的交点是A（4，0），方程表示的是过定点P（－2，1）的一组直线，其中PB为过点P且与平行的直线 由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间，其余率＜＜ ‎ 而＝－，＝－，所以－＜＜－ 故选C.‎ 评述：有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的方法解决，让学生予以体会 例2 求证：不论为什么实数，直线都通过一定点 证法一：取＝1，得直线方程＝－４；再取＝，得直线方程为x＝9. ‎ 从而得两条直线的交点为(9，－４），又当＝9，＝－４时，有 即点(9，－４）在直线上，‎ 故直线都通过定点(9，－４）‎ 证法二：∵，∴（x＋2－1）－（x＋－5）＝0，‎ 则直线都通过直线＋2－1＝0与＋－5＝0的交点.‎ 由方程组，解得＝9，＝－４，即过点(9，－４）‎ 所以直线经过定点(9，－４).‎ 证法三：∵（，‎ ‎∴（＋2－1）＝＋－5‎ 由为任意实数，知关于的一元一次方程（＋2－1）＝＋－5的解集为R，‎ ‎∴，解得＝9，＝－４‎ 所以直线都通过定点(9，－４）‎ 例3 若，求证直线必经过一个定点.‎ 证明：由，且不同时为0，设≠0，则 代入直线方程，得(－）＋（－1）＝0.‎ 此方程可视为过直线－＝0与－1＝0的交点的直线系方程.‎ 解方程组得＝1，＝1‎ 即两直线交点为(1，1），故直线过定点(1，1).‎ 点评：以上例题是直线系的应用问题 例4已知点A的坐标为(－４，４），直线的方程为3＋－2＝0，求：‎ ‎(1)点A关于直线的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线关于点A的对称直线的方程.‎ 解：(1)设点A′的坐标为（′，′）.‎ 因为点A与A′关于直线对称，所以AA′⊥，且AA′的中点在上，而直线的斜率是－3，所以′＝.‎ 又因为＝ ‎ 再因为直线的方程为3＋－2＝0，AA′的中点坐标是()，所以3·－2＝0 ‎ 由①和②，解得′＝2，′＝6.所以A′点的坐标为(2，6) ‎ ‎(2)关于点A对称的两直线与互相平行，于是可设的方程为3＋＋c＝0.在直线上任取一点M(0，2），其关于点A对称的点为M′（′，′），于是M′点在上，且MM′的中点为点A，由此得 ‎，即：′＝－８，′＝6.‎ 于是有M′（－８，6）.因为M′点在上，‎ 所以3（－８）＋6＋＝0，∴＝18 ‎ 故直线的方程为3＋＋18＝0 ‎ 例5光线由点射出，遇到直线：后被反射，已知其，求反射光线所在直线的方程.‎ 解：设点A关于的对称点为，则 即 所求直线方程为，即 ‎ 点评：以上例题是点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解问题.‎ 例6 求直线:2+-5=0,: +3-4=0的夹角，到的角，到的角 ‎ 解：由两条直线的斜率=-2,=-，得 tan=，tan＝1，＝，=π-＝.‎ 点评:夹角是指两条直线所夹的锐角，不用考虑顺序.一条直线到另一条直线的角(简称为“到角”)有直线的先后顺序问题，其范围应大于0且小于π.‎ 例7 已知点A(-1,1),B(1,1),点P是直线=-2上的一点，满足∠APB最大，求点P的坐标及∠APB的最大值. 解：设P（，－2），则kAP＝，‎ 当＝3时，∠APB＝0； 当＜3时，‎ tanAPB＝≤1‎ 当且仅当3－＝，即＝1时等号成立， ‎∴P是(1,-1)时，∠APB有最大值；‎ 当＞3时，同法可求∠APB的最大值是arctan ‎ 结论：当P点的坐标是（－1，1）时，∠APB有最大值 ‎ 说明：P点在直线y=-2上，将点P坐标可设成(,-2)，而AB∥轴，所以需分P在直线AB上、在直线AP的上方、下方三种情况讨论. 例8 已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角边BC在直线2+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程.‎ 解：直线BC的斜率kBC＝－，‎ ‎∵直线AC与直线BC垂直， ‎∴直线AC的方程为y－4＝（－5） 即3－2y－7＝0 ‎∵∠ABC＝45°， ‎∴‎ kAB＝－5或kAB＝.‎ ‎∴AB边所在的直线方程为:y－4＝（－5）或y－4＝－5（－5） 即－5y＋15＝0或5＋y－29＝0 ‎ 说明：此题利用等腰直角三角形的性质，得出∠ABC＝45°，再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了直线AB的方程.‎ 例9 求经过点(2，3)且经过以下两条直线的交点的直线的方程：‎ ‎:+3y-4=0, :5+2y+6=0. 解法一：解方程组 ‎,所以与的交点是(-2,2)，由两点式得所求直线的方程为,即-4y+10=0. 解法二:可设所求直线方程为+3y-4+λ(5+2y+6)=0(λ∈R）， ‎∵点(2，3)在直线上. ‎∴2＋3×3－4＋λ（5×2＋2×3＋６）＝0，λ＝－.‎ ‎∴所求直线方程为+3y-4+(-)(5+2y+6)=0.即-4y+10=0.‎ 例10 k为何值时，直线：y＝k＋3k－2与直线：＋4y－4＝0的交点在第一象限.‎ 解：由 ‎∵两直线的交点在第一象限∴＜k＜1.‎ 即当＜k＜1时，两直线的交点在第一象限 说明：k为何值时，两直线的交点在第一象限，可以解两直线的方程组成的方程组，求出交点坐标，让横坐标大于0，纵坐标大于0，而后解不等式组即得k的范围.‎ 例11 求点P（3，－2）到下列直线的距离：‎ ‎ (1)y＝；（2）y＝6；（3）y轴. 解：(1)把方程y＝写成3－4y＋1＝0 由点到直线的距离公式得d＝ ‎ ‎(2)因为直线y=6平行于轴，所以d＝｜6－（－2）｜＝8. ‎（3）d＝｜3｜＝3. 说明：求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式，对于与坐标轴平行的直线，=a或y=b，求点到它们的距离，既可用点到直线的距离公式也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜.‎ 例12 求与直线：5-12y+6=0平行且到的距离为2的直线的方程.‎ 解：设所求直线的方程为5-12y+c=0.在直线5-12y+6=0上取一点P0（0，‎ ‎），点P0到直线5-12y+c=0的距离为 d=，由题意得=2.所以c=32或c=-20.‎ 所以所求直线的方程为5-12y+32=0和5-12y-20=0. 说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离.即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离. 例13 已知正方形的中心为G（－1，0），一边所在直线的方程为＋3y－5＝0，求其他三边所在直线方程.‎ 解：正方形中心G(－1，0)到四边距离均为.‎ 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为＋3y－c1＝0. 则，即｜c1＋1｜＝６.解得c1＝5或c1＝7.‎ 故与已知边平行的直线方程为+3y+7=0. 设正方形另一组对边所在直线方程为3－y＋c2＝0 则，即｜c2－3｜＝6.解得c2＝9或c2＝－3. 所以正方形另两边所在直线的方程为3-y+9=0和3-y-3=0 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：‎ ‎+3y+7=0、3-y+9=0、3-y-3=0 ‎ 说明：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程 四、课堂练习：‎ ‎1．.到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合是( )‎ A.直线2x+y－2=0 B.直线2x+y=0‎ C.直线2x+y=0或直线2x+y－2=0 D.直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0‎ ‎2.点P(m－n,－m)到直线=1的距离等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若A(sinθ，cosθ）、B（cosθ，sinθ）到直线xcosθ+ysinθ+p=0(p＜－1)的距离分别为m、n，则m、n的大小关系是( )‎ A.m≥n B.m≤n C.m＞n D.m＜n ‎4.已知点(3，m)到直线x+y－4=0的距离等于1，则m等于( )‎ A. B.－ C.－ D. 或－‎ ‎5.直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到的距离相等，则直线的方程是( )‎ A.4x+y－6=0 B.x+4y－6=0‎ C.3x+2y－7=0或4x+y－6=0 D.2x+3y－7=0或x+4y－6=0‎ ‎6.点P(x,y)到直线5x－12y+13=0和直线3x－4y+5=0的距离相等，则点P的坐标应满足的是( )‎ A.32x－56y+65=0或7x+4y=0 B.x－4y+4=0或4x－8y+9=0‎ C.7x+4y=0 D.x－4y+4=0‎ ‎7.已知直线：y=x与：y=－x，在两直线的上方有一点P，过P分别作、的垂线，垂足为A、B.已知｜PA｜＝2，｜PB｜＝2.‎ 求(1)P点坐标；(2)｜AB｜的值 ‎8.三角形的三个顶点坐标分别是A(4，1)、B(7，5)、C(－4,7)，求角A的平分线方程 ‎9.已知一直线被两直线：3x+4y－7=0和：3x+4y+8=0截得的线段长为且过点P(2，3)，求直线的方程 参考答案：1.D 2.A 3.A 4.D 5.C 6.A 7.(1)(0，4) （2）‎ ‎8.7x+y－29=0 9.x=2或7x－24y+58=0 ‎ 四、小结 ：两条直线平行与垂直的条件；两条直线的夹角和点到直线的距离公式；直线的方程判断两条直线的位置关系；直线系方程的应用 ‎ 五、课后作业：‎ ‎1.已知直线：A1x+B1y+C1＝0与直线：A2x+B2y+C2＝0相交，则方程λ1（A1x＋B1y＋C1）＋λ2（A2x+B2y+C2）=0,(≠0)表示( )‎ A.过与交点的一切直线 B.过与的交点，但不包括可包括的一切直线 C.过与的交点，但包括不包括的一切直线 D.过与的交点，但既不包括又不包括的一切直线 ‎2.方程(a－1)x－y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线( )‎ A.恒过定点(－2,3) B.恒过定点(2，3)‎ C.恒过点(－2,3)和点(2，3) D.都是平行直线 ‎3.点(3，9)关于直线x+3y－10=0对称的点的坐标是( )‎ A.(－1,－3) B.(17,－9) C.(－1,3) D.(－17,9)‎ ‎4.下列直线中与直线y+1=x平行的直线是( )‎ A.2x－3y+m=0(m≠－3) B.2x－3y+m=0(m≠1)‎ C.2x+3y+m=0(m≠－3) D.2x+3y+m=0(m≠1)‎ ‎5.已知M(1，0)、N(－1，0)，直线2x+y=b与线段MN相交，则b的取值范围是 A.［－2,2］ B.［－1，1］ C.［－，］ D.［0，2］‎ ‎6.直线y=k(x－1)(k∈R)表示经过点到 且不与 垂直的直线.‎ ‎7.若方程(6a2－a－2)x+(3a2－5a+2)y+(a－1)=0表示平行于y轴的直线，则a的值 .‎ ‎8.两平行线、分别过点P1（1，0）与P2（0，5），‎ ‎(1)若与距离为5，求两直线方程；‎ ‎(2)设与之间距离是d,求d的取值范围.‎ ‎9.直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B（3，1），求点C的坐标，并判断△ABC的形状 ‎10.(1)求证直线(2+m)x+(1－2m)y+4－3m=0,不论m为何实数，此直线必过定点.‎ ‎(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程 参考答案：‎ ‎1.A 2.A 3.A 4.A 5.A 6.(1，0)；x轴 7.不存在 ‎8.(1) 的方程为y=0或5x－12y－5=0. 的方程为y=5或5x－12y+60=0.‎ ‎(2)（0，］‎ ‎9.C(2，4)；直角三角形 ‎10.(1)略 (2)2x+y+4=0 ‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎