2021届高考数学一轮复习第六章数列第3节等比数列及其前n项和课件新人教A版 35页

第 3 节　等比数列及其前 n 项和 考试要求　 1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式； 2. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题； 3. 了解等比数列与指数函数的关系 . 知 识 梳 理 1. 等比数列的概念 同一个 q 等比中项 2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 a 1 q n － 1 3. 等比数列的性质 已知 { a n } 是等比数列， S n 是数列 { a n } 的前 n 项和 . (1) 若 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈ N * ) ，则有 a k · a l ＝ _____ . (2) 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 a k ， a k ＋ m ， a k ＋ 2 m ， … 仍是等比数列，公比为 _____ . (3) 当 q ≠ － 1 ，或 q ＝－ 1 且 n 为奇数时， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n ， … 仍成等比数列，其公比为 _____ . a m · a n q m q n 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析　 (1) 在等比数列中， q ≠ 0. (2) 若 a ＝ 0 ， b ＝ 0 ， c ＝ 0 满足 b 2 ＝ ac ，但 a ， b ， c 不成等比数列 . (3) 当 a ＝ 1 时， S n ＝ na . (4) 若 a 1 ＝ 1 ， q ＝－ 1 ，则 S 4 ＝ 0 ， S 8 － S 4 ＝ 0 ， S 12 － S 8 ＝ 0 ，不成等比数列 . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 2. ( 老教材必修 5P53T1 改编 ) 已知 { a n } 是等比数列， a 4 ＝ 16 ，公比 q ＝ 2 ，则 a 1 等于 ( 　　 ) 解析　 由题意，得 a 4 ＝ a 1 q 3 ＝ 8 a 1 ＝ 16 ，解得 a 1 ＝ 2. 答案　 A 4. (2020· 晋冀鲁豫名校联考 ) 公比不为 1 的等比数列 { a n } 满足 a 5 a 6 ＋ a 4 a 7 ＝ 18 ，若 a 1 a m ＝ 9 ，则 m 的值为 ( 　　 ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析　 由题意得， 2 a 5 a 6 ＝ 18 ， a 5 a 6 ＝ 9 ， ∴ a 1 a m ＝ a 5 a 6 ＝ 9 ， ∴ m ＝ 10. 答案　 C 答案　 D 考点一　等比数列基本量的运算 【例 1 】 (1) (2019· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知各项均为正数的等比数列 { a n } 的前 4 项和为 15 ，且 a 5 ＝ 3 a 3 ＋ 4 a 1 ，则 a 3 ＝ ( 　　 ) 解析　 (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，由 a 5 ＝ 3 a 3 ＋ 4 a 1 得 q 4 ＝ 3 q 2 ＋ 4 ，得 q 2 ＝ 4 ，因为数列 { a n } 的各项均为正数，所以 q ＝ 2 ，又 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ a 1 (1 ＋ q ＋ q 2 ＋ q 3 ) ＝ a 1 (1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ 8) ＝ 15 ，所以 a 1 ＝ 1 ，所以 a 3 ＝ a 1 q 2 ＝ 4. 答案　 (1)C 　 (2)D 【训练 1 】 (1) 等比数列 { a n } 中各项均为正数， S n 是其前 n 项和，且满足 2 S 3 ＝ 8 a 1 ＋ 3 a 2 ， a 4 ＝ 16 ，则 S 4 ＝ ( 　　 ) A.9 B.15 C.18 D.30 (2) 设等比数列 { a n } 满足 a 1 ＋ a 2 ＝－ 1 ， a 1 － a 3 ＝－ 3 ，则 a 4 ＝ ________. (2) 由 { a n } 为等比数列，设公比为 q . 显然 q ≠ 1 ， a 1 ≠ 0 ， 所以 a 4 ＝ a 1 q 3 ＝ 1 × ( － 2) 3 ＝－ 8. 答案　 (1)D 　 (2) － 8 考点二　等比数列的判定与证明 【例 2 】 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ … ＋ na n ＝ ( n － 1) S n ＋ 2 n ( n ∈ N * ). (1) 求 a 2 ， a 3 的值； (2) 求证：数列 { S n ＋ 2} 是等比数列 . (1) 解　 因为 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ … ＋ na n ＝ ( n － 1) S n ＋ 2 n ( n ∈ N * ) ， 所以当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 × 1 ＝ 2 ； 当 n ＝ 2 时， a 1 ＋ 2 a 2 ＝ ( a 1 ＋ a 2 ) ＋ 4 ，所以 a 2 ＝ 4 ； 当 n ＝ 3 时， a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＝ 2( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ) ＋ 6 ，所以 a 3 ＝ 8. 综上， a 2 ＝ 4 ， a 3 ＝ 8. (2) 证明　 因为 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ … ＋ na n ＝ ( n － 1) S n ＋ 2 n ( n ∈ N * ) ， ① 所以当 n ≥ 2 时， a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ … ＋ ( n － 1) a n － 1 ＝ ( n － 2) S n － 1 ＋ 2( n － 1). ② ① － ② ，得 na n ＝ ( n － 1) S n － ( n － 2) S n － 1 ＋ 2 ＝ n ( S n － S n － 1 ) － S n ＋ 2 S n － 1 ＋ 2 ＝ na n － S n ＋ 2 S n － 1 ＋ 2. 所以－ S n ＋ 2 S n － 1 ＋ 2 ＝ 0 ，即 S n ＝ 2 S n － 1 ＋ 2 ， 所以 S n ＋ 2 ＝ 2( S n － 1 ＋ 2). 故 { S n ＋ 2} 是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列 . 规律方法　 1. 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 . 2. 在利用递推关系判定等比数列时，要注意对 n ＝ 1 的情形进行验证 . 【训练 2 】 (2019· 长治二模 ) S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和，已知 a 4 ＝ 9 a 2 ， S 3 ＝ 13 ，且公比 q >0. (1) 求 a n 及 S n ； (2) 是否存在常数 λ ，使得数列 { S n ＋ λ } 是等比数列？若存在，求 λ 的值；若不存在，请说明理由 . (2) 假设存在常数 λ ，使得数列 { S n ＋ λ } 是等比数列， ∵ S 1 ＋ λ ＝ λ ＋ 1 ， S 2 ＋ λ ＝ λ ＋ 4 ， S 3 ＋ λ ＝ λ ＋ 13 ， 考点三　等比数列的性质及应用 【例 3 】 (1) (2020· 洛阳统考 ) 等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 10 a 11 ＋ a 8 a 13 ＝ 64 ，则 log 2 a 1 ＋ log 2 a 2 ＋ … ＋ log 2 a 20 ＝ ________. (2) ( 一题多解 )(2019· 西安模拟 ) 已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 10 ＝ 20 ， S 30 ＝ 140 ，则 S 40 ＝ ( 　　 ) A.280 B.300 C.320 D.340 解析　 (1) 由等比数列的性质可得 a 10 a 11 ＝ a 8 a 13 ， 所以 a 10 a 11 ＋ a 8 a 13 ＝ 2 a 10 a 11 ＝ 64 ， 所以 a 10 a 11 ＝ 32 ，所以 log 2 a 1 ＋ log 2 a 2 ＋ … ＋ log 2 a 20 ＝ log 2 ( a 1 · a 2 · a 3 · … · a 20 ) ＝ log 2 [( a 1 · a 20 )·( a 2 · a 19 )·( a 3 · a 18 )· … ·( a 10 · a 11 )] ＝ log 2 ( a 10 · a 11 ) 10 ＝ log 2 32 10 ＝ 50. (2) 法一　 因为 S 10 ＝ 20 ≠ 0 ，所以 q ≠ － 1 ， 由等比数列性质得 S 10 ， S 20 － S 10 ， S 30 － S 20 ， S 40 － S 30 成等比数列， ∴ ( S 20 － S 10 ) 2 ＝ S 10 ( S 30 － S 20 ) ，即 ( S 20 － 20) 2 ＝ 20(140 － S 20 ) ，解得 S 20 ＝ 60 ， 法二　 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，由题意易知 q ≠ 1 ， 所以 S 40 ＝ S 30 ＋ S 10 · q 30 ＝ 140 ＋ 160 ＝ 300 ，故选 B. 答案　 (1)50 　 (2)B 规律方法　 1. 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质 “ 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 a m · a n ＝ a p · a q ” ，可以减少运算量，提高解题速度 . 2. 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形 . 此外，解题时注意设而不求思想的运用 . 【训练 3 】 (1) (2020· 贵阳质检 ) 在等比数列 { a n } 中，若 a 3 ， a 7 是方程 x 2 ＋ 4 x ＋ 2 ＝ 0 的两根，则 a 5 的值是 ( 　　 ) 数学运算、数学抽象 —— 等差 ( 比 ) 数列性质的应用 1. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的一种素养 . 本系列数学运算主要表现为：理解数列问题；掌握数列运算法则；探究运算思路；求得运算结果 . 通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展 . 2. 数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想 . 类型 1 　等差数列两个性质的应用 在等差数列 { a n } 中， S n 为 { a n } 的前 n 项和： (1) S 2 n － 1 ＝ (2 n － 1) a n ； (2) 设 { a n } 的项数为 2 n ，公差为 d ，则 S 偶 － S 奇 ＝ nd . 【例 1 】 (1) 等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a m － 1 ＋ a m ＋ 1 － a ＝ 0 ， S 2 m － 1 ＝ 38 ，则 m ＝ ________. (2) 一个等差数列的前 12 项和为 354 ，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32 ∶ 27 ，则数列的公差 d ＝ ________. 类型 2 　等比数列两个性质的应用 在等比数列 { a n } 中， (1) 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N * ) ，则 a n · a m ＝ a p · a q ； (2) 当公比 q ≠ － 1 时， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n ， … 成等比数列 ( n ∈ N * ). 【例 2 】 (1) 等比数列 { a n } 中， a 4 ＝ 2 ， a 5 ＝ 5 ，则数列 {lg a n } 的前 8 项和等于 ( 　　 ) A.6 B.5 C.4 D.3 (2) 设等比数列 { a n } 中，前 n 项和为 S n ，已知 S 3 ＝ 8 ， S 6 ＝ 7 ，则 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 等于 ( 　　 ) 解析　 (1) 数列 {lg a n } 的前 8 项和 S 8 ＝ lg a 1 ＋ lg a 2 ＋ … ＋ lg a 8 ＝ lg( a 1 · a 2 · … · a 8 ) ＝ lg( a 1 · a 8 ) 4 ＝ lg( a 4 · a 5 ) 4 ＝ lg(2 × 5) 4 ＝ 4. 答案　 (1)C 　 (2)A 类型 3 　等比数列前 n 项和 S n 相关结论的活用 (1) 项的个数的 “ 奇偶 ” 性质：等比数列 { a n } 中，公比为 q . 若共有 2 n 项，则 S 偶 ∶ S 奇 ＝ q . (2) 分段求和： S n ＋ m ＝ S n ＋ q n S m ( q 为公比 ). 【例 3 】 (1) 已知等比数列 { a n } 共有 2 n 项，其和为 － 240 ，且奇数项的和比偶数项的和大 80 ， 则公比 q ＝ ________.