江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二数学下学期期末模拟（二）试题（Word版附答案） 13页

南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（二） 2020-06-22 时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上. 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．已知集合 }032|{ 2  xxxA ， 12|{  xxB ，且 }Zx  ，则 BA  （ ） A． }1,2{  B． }0,1{ C． }0,2{ D． }1,1{ 2．设 yixi  1)1( ，其中 x ， y 是实数，则  || yix （ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 3．已知随机变量 服从正态分布  21,N  ，若 ( 4) 0.9P    ，则 1( )2P    （ ） A． 0.2 B． 0.3 C． 0.4 D． 0.6 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系 统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成 一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体积V 的近似公式 21 .36v L h 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3．那么近似公式 22 75v L h 相当于将 圆锥体积公式中的 近似取为（ ） A． 22 7 B． 25 8 C．157 50 D． 355 113 5．函数  y f x 与  y g x 的图象如图所示，则    y f x g x  的部分图象可能是（ ） A． B． C． D． 6． 6 3 ) 4 12( x x  的展开式的中间项为（ ） A． 40 B. 240x C. 40 D. 240x 7．已知 5 3)4sin(   ， )2,0(   ，则 cos （ ） A． 2 10 B． 3 2 10 C． 2 2 D． 7 2 10 8．已知双曲线 1: 2 2 2 2  b y a xC （ 0a ， 0b ）， 1F ， 2F 分别为C 的左，右焦点，过 1F 作 与一条渐近线垂直的直线，与渐近线交于 H ，与双曲线右支交于 P ，若 HFPF 11 4 ，则 该双曲线的离心率为（ ） A． 15 3 B． 21 3 C． 5 3 D． 7 3 二、多项选择题：本大题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分， 9．已知    22 3 2 1 0f x cos x sin x      的最小正周期为 ，则下列说法正确的有 （ ） A． 2  B．直线 3x  是函数  y f x 图象的一条对 称轴 C．函数  f x 在[0, ]6  上为增函数 D． )0,12 5(  是函数  y f x 图象的一个对称 中心 10．已知 P 是椭圆 C： 2 2 16 x y  上的动点，Q 是圆 D： 2 2 11 5x y   上的动点，则（ ） A．C 的焦距为 5 B．C 的离心率为 30 6 C．圆 D 在 C 的内部 D． PQ 的最 小值为 2 5 5 11. 下列命题中，正确命题的是( ) A. 已知随机变量服从二项分布 B(n，p)，若 E(X)＝30，D(X)＝20，则 p＝2 3 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C. 设随机变量ξ服从正态分布 N(0,1)，若 P(ξ>1)＝p，则 P(－1<ξ≤0)＝1 2 －p D. 某人在 10 次射击中，击中目标的次数为 X，X～B(10,0.8)，则当 X＝8 时概率最大 12 对于定义域为 D 的函数 f(x)，若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件： ① f(x)在[m，n]上是单调的； ②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”． 下列函数存在“和谐区间”的是( ) A. f(x)＝2x B. f(x)＝3－2 x C. f(x)＝x2－2x D. f(x)＝lnx＋2 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．向量    , 4 , 1,a x b x     ，若 a  与b  共线，则实数 x __________． 14．已知圆   2 22 1 2x y    关于直线  1 0, 0ax by a b    对称，则 2 1 a b  的最小值 为_____． 15．已知 P 是抛物线 2 4y x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M ，点 A 的坐标为 2,3 ，则 PA PM 的最小值是__________． 16．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 为棱 CD 的中点，F 为棱 1AA 的中点，且平面 BEF 与 1DD 交于点 G，与 1AC 交于点 H，则 1 DG DD  ______， 1 AH HC  ______． 四、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10 分）已知各项均不相等的等差数列{ }na 的前 4 项和为10，且 1 2 4, ,a a a 是等比数列 nb 的前3项． (1)求 ,n na b ； (2)设   1 1n n n n c b a a    ，求 nc 的前 n 项和 nS ． 18．（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 和钝角  的终 边分别与单位圆交于点 A ， B ．若点 A 的横坐标是 10 103 ，点 B 的纵坐标是 5 52 ． （1）求 )cos(   的值；（2）求   的值． 19．（12 分）如图，在直三棱柱 111 CBAABC  中，点 M ， N 分别为线段 BA1 ， 1AC 的中 点． （1）求证： //MN 平面 CCBB 11 ； （2）若 D 在边 BC 上， 1DCAD  ，求证： ADMN  ． 20．（12 分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文 化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随 机抽取了 n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频 率分布直方图，将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读 书时间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星”：已知抽取的样本中日均课余读书时间低 xO y A B A B CD M N A1 B1 C1 于 10 分钟的有 10 人． (1)求 n , p 的值； (2)根据已知条件完成下面的 2 2 列联表，并判断是否有 95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关? (3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每 次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变 量 X ，求 X 的分布列和期望  E X ． 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． )( 0 2 kKP  0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21．（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分 非读书之 星 读书之星 总计 男 女 10 55 总计 别为 F1，F2，P 为椭圆上一点（在 x 轴上方），连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q，设PF1 → ＝λF1Q→ ． （1）若点 P 的坐标为 (1，3 2)，且△PQF2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程； （2）若 PF2 垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e∈[1 2 ， 2 2 ]，求实数λ的取值范围． 22．（12 分）已知函数 f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R． （1）当 a＝b＝1 时，求曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程； （2）当 b＝2a＋1 时，讨论函数 f(x)的单调性； x O y P F1 F2Q 南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（二）答案 2020-06-22 一、选择题：（1）B （2）B （3）C （4）B （5）A （6）B （7）A （8）C 二、多项选择：（9）CD （10）BC （11） BCD（12）BD. 三、填空题：（13） 2 （14）9 （15） 110  （16） 4 1 ， 5 2 四、解答题： 17、解:(1)设数列 na 的公差为 d ， 由题意知:   1 2 3 4 1 1 4 4 14 + 4 6 102a a a a a d a d         ① 又因为 1 2 4, ,a a a 成等比数列， 所以 2 2 1 4a a a  ，    2 1 1 1 3a d a a d    ， 2 1d a d ， 又因为 0d  ， 所以 1a d . ② 由①②得 1 1, 1a d  ， 所以 na n ， 1 1 1b a  ， 2 2 2b a  ， 2 1 2bq b   ， 12n nb   . (2)因为   1 11 1 12 21 1 n n nc n n n n            ， 所以 0 1 1 1 1 1 1 12 2 ... 2 1 2 2 3 1 n nS n n               1 2 111 2 1 n n     12 1 n n    所以数列 nc 的前 n 项和 12 1 n nS n    . 18．解： 因为锐角α的终边与单位圆交于 A，且点 A 的横坐标是3 10 10 ， 所以，由任意角的三角函数的定义可知，cosα＝3 10 10 ， 从而 sinα＝ 1－cos2α＝ 10 10 ． …………………… 2 分 因为钝角β的终边与单位圆交于点 B，且点 B 的纵坐标是2 5 5 ， 所以 sinβ＝2 5 5 ，从而 cosβ＝－ 1－sin2β＝－ 5 5 ． …………………… 3 分 （1）cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝3 10 10 ×(－ 5 5 )＋ 10 10 ×2 5 5 ＝－ 2 10 ． …………………… 6 分 （2）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝ 10 10 ×(－ 5 5 )＋3 10 10 ×2 5 5 ＝ 2 2 ． …………………… 11 分 因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(π 2 ，3π 2 )， 所以α＋β＝3π 4 ． …………………… 12 分 19．证明：（1）如图，连结 A1C． 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 为平行四边形． 又因为 N 为线段 AC1 的中点， 所以 A1C 与 AC1 相交于点 N， 即 A1C 经过点 N，且 N 为线段 A1C 的中点． ……………… 2 分 因为 M 为线段 A1B 的中点， A B CD M N A1 B1 C1 （第 16 题） 所以 MN∥BC． ……………… 4 分 又 MN平面 BB1C1C，BC平面 BB1C1C， 所以 MN∥平面 BB1C1C． …………………… 6 分 （2）在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，CC1⊥平面 ABC． 又 AD平面 ABC，所以 CC1⊥AD． …………………… 6 分 因为 AD⊥DC1，DC1平面 BB1C1C，CC1平面 BB1C1C，CC1∩DC1＝C1， 所以 AD⊥平面 BB1C1C． …………………… 8 分 又 BC平面 BB1C1C，所以 AD⊥BC． …………………… 10 分 又由（1）知，MN∥BC，所以 MN⊥AD． …………………… 12 分 20．【详解】（1） 0.005 0.018 0.020 0.022 0.025 10 1P       解得： 0.01P  ， 所以 10 0. 101 0n   . (2)因为 100n  ，所以“读书之星”有100 0.25 25  从而 2 2 列联表如下图所示: 非读书之星 读书之星 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将 2 2 列联表中的数据代入公式计算得  2 2 100 30 10 15 45 100 3.03045 55 75 25 33K         因为 3.030 3.841 ，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关 (3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为 1 4 . 由题意可知 1~ 3, 4X B     所以   3 0 3 0 1 1 270 4 1 4 64P X C                 3 2 1 1 271 1 4 64 1 4P X C       ，   2 2 3 1 92 1 4 64 1 4P X C                 3 3 3 4 13 64 1P X C         所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 故   1 33 4 4E X    . 21． 解：（1）因为 F1，F2 为椭圆 C 的两焦点，且 P，Q 为椭圆上的点， 所以 PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2 的周长为 4a． 由题意，得 4a＝8，解得 a＝2． …………………… 2 分 因为点 P 的坐标为 (1，3 2)，所以 1 a2 ＋ 9 4b2 ＝1， 解得 b2＝3． 所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1． …………………… 5 分 （2）方法一：因为 PF2⊥x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y0)，y0＞0．设 Q(x1，y1)． 因为 P 在椭圆上，所以c2 a2 ＋y2 0 b2 ＝1，解得 y0＝b2 a ，即 P(c，b2 a )． …………………… 7 分 因为 F1(－c，0)，所以PF1 → ＝(－2c，－b2 a )，F1Q→ ＝(x1＋c，y1)． 由PF1 → ＝λF1Q→ ，得－2c＝λ(x1＋c)，－b2 a ＝λy1， 解得 x1＝－λ＋2 λ c，y1＝－b2 λa ，所以 Q(－λ＋2 λ c，－b2 λa)． …………………… 11 分 因为点 Q 在椭圆上，所以(λ＋2 λ )2e2＋ b2 λ2a2 ＝1， 即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1， 因为λ＋1≠0， 所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝3e2＋1 1－e2 ＝ 4 1－e2 －3． …………………… 14 分 因为 e∈[1 2 ， 2 2 ]，所以1 4 ≤e2≤1 2 ，即7 3 ≤λ≤5． 所以λ的取值范围为[7 3 ，5]． …………………… 16 分 方法二：因为 PF2⊥x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y0)，y0＞0． 因为 P 在椭圆上，所以c2 a2 ＋y2 0 b2 ＝1，解得 y0＝b2 a ，即 P(c，b2 a )． …………………… 7 分 因为 F1(－c，0)，故直线 PF1 的方程为 y＝ b2 2ac(x＋c)． 由 y＝ b2 2ac(x＋c)， x2 a2 ＋y2 b2 ＝1， 得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0． 因为直线 PF1 与椭圆有一个交点为 P(c，b2 a )．设 Q(x1，y1)， 则 x1＋c＝－ 2b2c 4c2＋b2 ，即－c－x1＝ 2b2c 4c2＋b2 ． …………………… 11 分 因为PF1 → ＝λF1Q→ ， 所以λ＝ 2c －c－x1 ＝4c2＋b2 b2 ＝3c2＋a2 a2－c2 ＝＝3e2＋1 1－e2 ＝ 4 1－e2 －3． …………………… 14 分 因为 e∈[1 2 ， 2 2 ]，所以1 4 ≤e2≤1 2 ，即7 3 ≤λ≤5． 所以λ的取值范围为[7 3 ，5]． …………………… 16 分 22．解：（1）因为 a＝b＝1，所以 f(x)＝x 2－x＋lnx， 从而 f ′(x)＝2x －1＋1 x ． 因为 f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程为 y－0＝2(x－1)， 即 2x － y － 2 ＝ 0． …………………… 3 分 （2）因为 b＝2a＋1，所以 f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx， 从而 f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋1 x ＝2ax2－(2a＋1)x＋1 x ＝(2ax－1)(x－1) x ，x＞0． ………… 5 分 当 a≤0 时， x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0， 所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7 分 当 0＜a＜1 2 时， 由 f ′(x)＞0 得 0＜x＜1 或 x＞ 1 2a ，由 f ′(x)＜0 得 1＜x＜ 1 2a ， 所以 f(x)在区间(0，1)和区间( 1 2a ，＋∞)上单调递增，在区间(1， 1 2a)上单调递减． 当 a＝1 2 时， 因为 f ′(x)≥0（当且仅当 x＝1 时取等号）， 所以 f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 当 a＞1 2 时， 由 f ′(x)＞0 得 0＜x＜ 1 2a 或 x＞1，由 f ′(x)＜0 得 1 2a ＜x＜1， 所以 f(x)在区间(0， 1 2a)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间( 1 2a ，1)上单调递减． …………………… 10 分