2020高中数学 第3章 不等式 第二节 一元二次不等式学案 苏教版必修5 5页

一元二次不等式 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 一元二次不等式 ‎1. 掌握简单的一元二次不等式的解法。‎ ‎2. 掌握一元二次不等式与相应的函数、方程的关系。‎ 选择题 填空题 一元二次不等式是解不等式的基础，要认真掌握。并注意体会不等式、函数、方程间的相互转化思想。‎ 二、重难点提示 重点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系；理解一元二次不等式的恒成立问题；从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。‎ 难点：理解二次函数图象、一元二次方程的根与一元二次不等式解集之间的关系。‎ 考点一：一元二次不等式及其解集 ‎（1）概念 形如或（其中）的不等式叫做一元二次不等式。‎ ‎（2）与二次方程、二次函数的关系 Δ＝b2－‎‎4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ y＝ax2＋bx＋c ‎（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0‎ ‎（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2‎ 有两个相等的 实数根x1，x2‎ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0‎ ‎（a＞0）的解集 ‎{x|x＞x2或x＜x1}‎ ‎{x|x≠－}‎ R ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集 ‎{x|x1＜x＜x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ 考点二：一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是：‎ ‎（1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；‎ ‎（2）计算相应的判别式；‎ ‎（3）当时，求出相应的一元二次方程的根；‎ ‎（4）根据一元二次不等式解的结构，写出其解。‎ ‎【核心归纳】‎ 5‎ 其中对的解的结构可记为“”的解为“大于大根或小于小根”，“”的解为“大于小根且小于大根”，总结为“大于0取两边，小于0去中间”。‎ ‎【随堂练习】若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的解集。‎ 思路分析：由不等式的解集→方程的解→利用韦达定理求a、b、c关系→解所求不等式 答案：∵ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜4}，‎ ‎∴a＜0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根。‎ 由韦达定理，得 即 ‎∵不等式bx2＋2ax－c－3b＜0，‎ ‎∴－ax2＋2ax＋‎15a＜0，即x2－2x －15＜0。‎ 故所求的不等式的解集为{x|－3＜x＜5}。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 一元二次不等式解集的区间端点值就是相应方程的实根，也是相应二次函数的零点，三者之间的相互转化是本题求解的关键。‎ ‎2. 由一元二次不等式解集的情况，还可判断出二次项系数的正负，解题时也要注意到。‎ 例题1 （一元二次不等式的基本解法）‎ 解下列不等式：‎ ‎（1）2x2－3x－2＞0；（2） 2x2－4x＋7＜0；‎ ‎（3）－6x2－x＋2≥0；（4）－4x2≥1－4x。‎ 思路分析：化一边为0→二次项系数化为正→求对应方程的根→二次函数图象与解集 答案：（1）∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，‎ ‎∴方程2x2－3x－2＝0的两根是－，2，‎ ‎∴原不等式的解集为；‎ ‎（2）∵Δ＝（－4）2－4×2×7＜0，‎ ‎∴不等式2x2－4x＋7＜0的解集为；‎ ‎（3）原不等式可化为6x2＋x－2≤0，‎ ‎∵Δ＝12－4×6×（－2）＞0，‎ ‎∴方程6x2＋x－2＝0的两根是－，，‎ 5‎ ‎∴原不等式的解集为；‎ ‎（4）原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即（2x－1）2≤0，‎ ‎∴原不等式的解集是；‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题给出了解一元二次不等式的各种常见类型，要认真体会。‎ ‎2. 一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，尤其要注意“>”与“≥”，“<”与“≤”符号的区分。‎ 例题2 （含参数的一元二次不等式的解法）‎ 解关于x的不等式：ax2－（a＋1）x＋1＜0（a∈R）。‎ 思路分析：当a＝0时，不等式的解集→a＜0时，不等式的解集→a＞0时不等式的解集 答案：若a＝0，原不等式可化为－x＋1＜0，‎ 即x＞1；‎ 若a＜0，原不等式可化为（x－）（x－1）＞0，‎ 即x＜或x＞1；‎ 若a＞0，原不等式可化为（x－）（x－1）＜0。（*）‎ 其解的情况应由与1的大小关系决定，故 ‎（1）当a＝1时，由（*）式可得x∈；‎ ‎（2）当a＞1时，由（*）式可得＜x＜1；‎ ‎（3）当0＜a＜1时，由（*）式可得1＜x＜。‎ 综上所述：当a＜0时，解集为{x|x＜或x＞1}；‎ 当a＝0时，解集为{x|x＞1}；‎ 当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜}；‎ 当a＝1时，解集为∅；‎ 当a＞1时，解集为{x|＜x＜1}。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 含参数的一元二次不等式中，若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式。‎ ‎2. 其次对方程的根比较大小，由根的大小确定参数的范围，然后根据范围对参数分类讨论。‎ 例题3 （恒成立问题）‎ 5‎ 若（m＋1）x2－（m－1）x＋3（m－1）＜0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围。‎ 思路分析：对任何实数x恒成立⇔不等式解集为实数集R→讨论m＋1的取值情况 答案：由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，‎ 原不等式可化为2x－6＜0，‎ 解得x＜3，不符合题意，应舍去；‎ 当m＋1≠0时，由（m＋1）x2－（m－1）x＋3（m－1）＜0对任何实数x恒成立，‎ 则有 解得m＜－。‎ 综上所述，实数m的取值范围是（－∞，－）。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是当a＝0时，b＝0，c>0；‎ 当a≠0时，‎ ‎2. 不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是当a＝0时，b＝0，c<0；‎ 当a≠0时， ‎ 类似地，还有f（x）≤a恒成立⇔[f（x）]max≤a；f（x）≥a恒成立⇔[f（x）]min≥a。‎ ‎ ‎ ‎【综合拓展】‎ 综合型不等式的解法 ‎（1）解不等式（x＋1）（2－x）（x－3）＞0。‎ ‎（2）设a＜1，解关于x的不等式。‎ 思路分析：（1）两边都乘以，再利用根轴法求解。‎ ‎（2）解含参数的不等式时，一般要利用转化思想和分类讨论思想，在转化时一定要注意等价性原则。‎ 答案：（1）原不等式可化为（x＋1）（x－2）（x－3）＜0，且方程（x＋1）（x－2）（x－3）＝0的根为x1＝－1，x2＝2，x3＝3，‎ 则由穿针引线法（如图）可得原不等式的解集为{x|x＜－1或2＜x＜3}。‎ ‎（2）原不等式可化为 5‎ ‎①当a＝0时，化为＞0，‎ ‎∴－2＜x＜0；‎ ‎②当0＜a＜1时，化为＞0，‎ 此时－2＜－a＜，∴－2＜x＜－a或x＞。‎ ‎③当a＜0时，化为＜0；‎ 当a＜－时，有x＜－2或＜x＜－a；‎ 当a＝－时，有x＜且x≠－2；‎ 当－＜a＜0时，有x＜或－2＜x＜－a。‎ 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|－2＜x＜0}；‎ 当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|－2＜x＜－a或x＞}；‎ 当a＜－时，不等式的解集为{x|x＜－2或＜x＜－a}；‎ 当a＝－时，不等式的解集为{x|x＜且x≠－2}；‎ 当－＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜或－2＜x＜－a}。‎ 技巧点拨：‎ 解一元高次不等式关键是掌握根轴法的规则。‎ 解分式不等式的主要方法是移项、通分、因式分解、右边化为0，利用实数运算的符号法则等价转化为整式不等式（组）求解，本题第二步含有参数的分式不等式，解含参数的不等式要注意以下基本策略：‎ ‎1. 分清主变量与参变量，正确实施等价转化；‎ ‎2. 在转化过程中，考虑参数在取值范围内对运算结果是否有影响，从哪一步开始对结果有影响，就从哪一步展开对参数的讨论；‎ ‎3. 对不同的参数取值范围所得的结果，不能取交集，也不能取并集（因为不是对主变量x的讨论），而应按参数分类的方法依次列出。‎ 5‎