2020学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教 10页

1 2019 高二理科数学期末试题 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．设    , 3, 2, 1,0,1,2 , | 1U R A B x x       ，则 UA B ð A． 1,2 B． 1,0,1,2 C． 3, 2, 1,0   D． 2 2．复数 1 3 1 i i    A． 2 i B. 2 i C.1 2i D.1 2i 3.已知双曲线   2 2 2 2: 1 0 0x yC a ba b    ， 的离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为（ ） A． 1 4y x  B． 1 3y x  C. 1 2y x  D． y x  4. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看 后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 5. 四位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加 公益活动的概率 A. 1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 6.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十 一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有 7 层，每 层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A．5 B．6 C．4 D．3 7. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良 的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 （ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 2 8.设 f(x)＝ x2，x∈[0，1]， 1 x ，x∈ 1，e] (其中 e 为自然对数的底数)，则 错误!f(x)dx 的值为( ) A.4 3 B．2 C．1 D.2 3 9、下列命题是真命题的是 A.若sin cosx y ，则 2x y   B． 1,2 0xx R    C．若向量 , / / + =0a b a b a b       满足 ，则 D.若 x y ,则 2 2x y 10、设等比数列 na 的公比为 q ，则“ 10  q ”是“ na 是递减数列”的 A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不 必要条件 11．已知 F 为抛物线 2: 4C y x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 1 2,l l ，直线 1l 与 C 交 于 A、B 两点，直线 2l 与C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 12. 设 函 数 '( )f x 是 奇 函 数 ( )( )f x x R 的 导 函 数 ， f （ -1 ） =0 ， 当 0x  时 ， ' ( ) ( ) 0xf x f x  ，则使得 ( ) 0f x  成立的 x 的取值范围是 A． ( , 1) (0,1)   B． ( 1,0) (1, )  C． ( , 1) ( 1,0)   D． (0,1) (1, ) 第 II 卷（选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 13. 8( )( )x y x y  的展开式中 2 7x y 的系数为 .(用数字填写答案) 14. 设 ,x y 满足约束条件 7 0 3 1 0 3 5 0 x y x y x y         ≤ ≤ ≥ ，则 2z x y  的最大值为________． 15. 某班有 50 名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布 N(100,102)，已知 P(90≤ξ≤100)＝0.3， 估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为________． 16、设 nS 是数列 na 的前 n 项和，且 1 1a   ， 1 1n n na S S  ，则 nS  ________． 3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 asin B＝－bsin A＋π 3 . (1)求 A； (2)若△ABC 的面积 S＝ 3 4 c2，求 sin C 的值． 18、（本题 12 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的的菱形， 60BAD   ，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF  平面 ABCD ， 3BF  ， G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点. （1）求证：平面 / /BDGH 平面 AEF ； （2）求二面角 H BD C  的大小. 19. （本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝x2 4 与直线 l：y＝kx＋a(a>0)交 于 M，N 两点． (1)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由． 20．（本小题满分 12 分）为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性 驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过 100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性 驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人． (1)完成下面 2×2 列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过 100 km/h 与性别 有关”？ 平均车速超过 100 km/h 平均车速不超过 100 km/h 总计 男性驾驶员 4 女性驾驶员 总计 附：K2＝ n ad－bc 2 a＋b c＋d a＋c b＋d ，其中 n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好是 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率； (3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E(X)． 21、已知函数 ].1,0[,2 74)( 2   xx xxf （1）求 )(xf 的单调区间和值域； （ 2 ） 设 1a ， 函 数 ],1,0[],1,0[].1,0[,23)( 01 23  xxxaxaxxg 总存在若对于任意 使得 )()( 10 xfxg  成立，求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. 22、（本题 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ),0(cos2sin: 2  aaC  过点 )4,2( P 的直线 l 的参数方程为： )( 2 24 2 22 为参数t ty tx         ，直线 l 与曲线 C 分别 交于 NM、 两点． (1) 求曲线 C 和直线 l 的普通方程； (2) 若、、成等比数列，求实数 a 的值。 5 23、（本题 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 3212)(  xxxf . （Ⅰ）求不等式 6)( xf 的解集； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 1)(  axf 的解集非空，求实数 a 的取值范围． 6 永年二中高二理科数学期末试题答案 CCC DDD A AB DAA -20 8 10 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． 解：(1)∵asin B＝－bsinπ3，∴由正弦定理得 sin Asin B＝－sin Bsinπ3， 则 sin A＝－sinπ3，即 sin A＝－12sin A－32cos A， 化简得 tan A＝－33，∵A∈(0，π)，∴A＝5π6 . (2)∵A＝5π6 ，∴sin A＝12，由 S＝12bcsin A＝14bc＝34c2，得 b＝c， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则 a＝c， 由正弦定理得 sin C＝csin Aa ＝ 714. 18、（Ⅰ）证明：在 中，因为 分别是 的中点， 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . ……………… 2 分 设 ，连接 ， 因为 为菱形，所以 为 中点 在 中，因为 ， ， K 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . ……… 4 分 7 又因为 ， 平面 ， 所以平面 平面 . ………………5 分 （Ⅱ）解：取 的中点 ，连接 ， 因为四边形 是矩形， 分别为 的中点，所以 ， 因为平面 平面 ，所以 平面 ， 所以 平面 ， 因为 为菱形，所以 ，得 两两垂直. 所以以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴， 如图建立空间直角坐标系.因为底面 是边长为 的菱形， ， ， 所以 ， ， ， ， ， . …… 7 分 所以 ， . 设平面 的法向量为 ， 令 ，得 . ……………9 分 由 平面 ，得平面 的法向量为 ， 则 .……………11 分 所以二面角 的大小为 . ………………12 分 19. 解：(1)由题设可得 M(2，a)，N(－2，a)，或 M(－2，a)，N(2，a)． 又 y′＝x2，故 y＝x24 在 x＝2 处的导数值为， 所以 C 在点(2，a)处的切线方程为 y－a＝(x－2)，即 x－y－a＝0. y＝x24 在 x＝－2 处的导数值为－，所以 C 在点(－2，a)处的切线方程为 y－a＝－(x＋ 2)， 即 x＋y＋a＝0.故所求切线方程为 x－y－a＝0 和 x＋y＋a＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下： 设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2. 8 将 y＝kx＋a 代入 C 的方程，得 x2－4kx－4a＝0.故 x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a. 从而 k1＋k2＝y1－bx1 ＋y2－bx2 ＝2kx1x2＋(a－b)(x1＋x2)x1x2 ＝k(a＋b)a . 当 b＝－a 时，有 k1＋k2＝0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故∠OPM＝∠OPN，所以点 P(0，－a)符合题意． 20． 解：(1)完成的 2×2 列联表如下：K2＝100×(40×25－15×20)255×45×60×40 ≈8.249>7.879，所以有 99.5%的把握认为“平均车速超过 100 km/h 与性别有关”． (2)平均车速不超过 100 km/h 的驾驶员有 40 人，从中随机抽取 2 人的方法总数为 C 240， 记“这 2 人恰好是 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员”为事件 A，则事件 A 所包含的基本事 件数为 C 115C 125，所以所求的概率 P(A)＝ 240＝ 15×2520×39＝2552. (3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取 1 辆车，平均车速超过 100 km/h 且为男性 驾驶员的概率为 40100＝25，故 X～B25. 所以 P(X＝0)＝C03250353＝ 27125；P(X＝1)＝C1325352＝ 54125；P(X＝2)＝C2325235＝ 36125； P(X＝3)＝C33253350＝ 8125.所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 E(X)＝0× 27125＋1× 54125＋2× 36125＋3× 8125＝6565. 21、【解析】：（I）对函数 求导，得 令 解得 当 变化时， 的变化情况如下表： 0 （0， ） （ ，1） 1 － 0 + －4 －3 所以，当 时， 是减函数；当 时， 是增函数. 当 时， 的值域为[－4，－3]. 9 22、（本题 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 ……………5 分 ……………10 分 23、解：(Ⅰ)原不等式等价于 ， （2x＋1）＋（2x－3）≤6或 ， （2x＋1）－（2x－3）≤6 或 ， －（2x＋1）－（2x－3）≤6， 解得324，解此不等式得 a<－3 或 a>5. ……………10 分 10