2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示课件新人教A版 31页

第 1 节　函数及其表示 考试要求　 1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念； 2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 ( 如图象法、列表法、解析法 ) 表示函数； 3. 了解简单的分段函数，并能简单地应用 ( 函数分段不超过三段 ). 知 识 梳 理 非空数集 1. 函数与映射的概念   函数 映射 两个集合 A ， B 设 A ， B 是两个 ____________ 设 A ， B 是两个 ____________ 对应关系 f ： A → B 如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的 _______ 一个数 x ，在集合 B 中都有 ____________ 的数 f ( x ) 和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的 _______ 一个元素 x ，在集合 B 中都有 __________ 的元素 y 与之对应 名称 称 __________ 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 称 __________ 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 函数 y ＝ f ( x ) ， x ∈ A 映射： f ： A → B 非空集合 任意 唯一确定 任意 唯一确定 f ： A → B f ： A → B 2. 函数的定义域、值域 (1) 在函数 y ＝ f ( x ) ， x ∈ A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的 __________ ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的 ________________ 叫做函数的 ______ . (2) 如果两个函数的 _________ 相同，并且 __________ 完全一致，则这两个函数为相等函数 . 定义域 集合 { f ( x )| x ∈ A } 值域 定义域 对应关系 3. 函数的表示法 表示函数的常用方法有 _________ 、图象法和 _________ . 4. 分段函数 (1) 若函数在其定义域的不同子集上，因 ___________ 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 . (2) 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 _______ ，其值域等于各段函数的值域的 _______ ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 . 解析法 列表法 对应关系 并集 并集 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射 . 2. 直线 x ＝ a ( a 是常数 ) 与函数 y ＝ f ( x ) 的图象有 0 个或 1 个交点 . 3. 判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致 . 4. 注意以下几个特殊函数的定义域 (1) 分式型函数，分母不为零的实数集合 . (2) 偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合 . (3) f ( x ) 为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合 . (4) 若 f ( x ) ＝ x 0 ，则定义域为 { x | x ≠ 0}. 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析 　 (1) 错误 . 函数 y ＝ 1 的定义域为 R ，而 y ＝ x 0 的定义域为 { x | x ≠ 0} ，其定义域不同，故不是同一函数 . (2) 错误 . 值域 C ⊆ B ，不一定有 C ＝ B . (4) 错误 . 若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数 . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 2.( 老教材必修 1P25B2 改编 ) 若函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 M ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 2} ，值域为 N ＝ { y |0 ≤ y ≤ 2} ，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象可能是 ( 　　 ) 解析　 A 中函数定义域不是 [ － 2 ， 2] ； C 中图象不表示函数； D 中函数值域不是 [0 ， 2]. 答案　 B 3. ( 新教材必修第一册 P66 例 3 改编 ) 下列函数中，与函数 y ＝ x ＋ 1 是相等函数的是 ( 　　 ) 答案　 B 答案　 B 6. 已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ＋ 2 f ( － x ) ＝ e x ，则函数 f ( x ) 的解析式为 ________________. 解析　 因为 f ( x ) ＋ 2 f ( － x ) ＝ e x ， ① 所以将 x 用－ x 替换，得 f ( － x ) ＋ 2 f ( x ) ＝ e － x ， ② ①② 联立消去 f ( － x ) 得 3 f ( x ) ＝ 2e － x － e x ， 考点一　求函数的定义域 规律方法　 1. 求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子 ( 运算 ) 有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义 . 2. 求抽象函数定义域的方法 (1) 若已知函数 f ( x ) 的定义域为 [ a ， b ] ，则复合函数 f [ g ( x )] 的定义域可由不等式 a ≤ g ( x ) ≤ b 求出 . (2) 若已知函数 f [ g ( x )] 的定义域为 [ a ， b ] ，则 f ( x ) 的定义域为 g ( x ) 在 x ∈ [ a ， b ] 上的值域 . A.[0 ， 1] B.(0 ， 1) C.[0 ， 1) D.(0 ， 1] 解析　 (1) 由函数 f ( x ) 的定义域为 [ － 1 ， 1] ，令－ 1 ≤ 2 x － 1 ≤ 1 ，解得 0 ≤ x ≤ 1 ，又由 1 － x >0 且 1 － x ≠ 1 ，解得 x <1 且 x ≠ 0 ，所以函数 g ( x ) 的定义域为 (0 ， 1). 考点二　求函数的解析式 (2) 设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，由 f (0) ＝ 2 ，得 c ＝ 2 ， f ( x ＋ 1) － f ( x ) ＝ a ( x ＋ 1) 2 ＋ b ( x ＋ 1) ＋ 2 － ax 2 － bx － 2 ＝ 2 ax ＋ a ＋ b ＝ x － 1 ， 【训练 2 】 (1) 已知 y ＝ f ( x ) 是二次函数，若方程 f ( x ) ＝ 0 有两个相等实根，且 f ′( x ) ＝ 2 x ＋ 2 ，则 f ( x ) ＝ ________. (2) 若 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ＋ f ( － x ) ＝ 3 x ，则 f ( x ) ＝ ______. 解析　 (1) 设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，则 f ′( x ) ＝ 2 ax ＋ b ， ∴ 2 ax ＋ b ＝ 2 x ＋ 2 ，则 a ＝ 1 ， b ＝ 2. 所以 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ＋ c ＝ 0 ，且有两个相等实根 . ∴ Δ ＝ 4 － 4 c ＝ 0 ，则 c ＝ 1. 故 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ＋ 1. (2) 因为 2 f ( x ) ＋ f ( － x ) ＝ 3 x ， ① 所以将 x 用－ x 替换，得 2 f ( － x ) ＋ f ( x ) ＝－ 3 x ， ② 由 ①② 解得 f ( x ) ＝ 3 x . 答案　 (1) x 2 ＋ 2 x ＋ 1 　 (2)3 x 考点三　分段函数　 多维探究 角度 1 　分段函数求值 角度 2 　分段函数与方程、不等式问题 (2) ∵ f (1) ＝ 2 ，且 f ( a ) ＋ f (1) ＝ 0 ， ∴ f ( a ) ＝－ 2. 当 a ≤ 0 时， f ( a ) ＝ a ＋ 1 ＝－ 2 ， ∴ a ＝－ 3 ； 当 a >0 时， f ( a ) ＝ 2 a >0 ，此时， f ( a ) ≠ － 2. 综上可知 a ＝－ 3. 答案　 (1)D 　 (2) － 3 规律方法　 1. 根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解 . 2. 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围 . 提醒　 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论 . 解析　 (1) 因为函数 f ( x ) 的图象过点 (3 ， 0) ，所以 log 3 (3 ＋ m ) － 1 ＝ 0 ，解得 m ＝ 0.