浙江省2021届高考数学一轮复习第六章平面向量复数加强练六平面向量复数含解析 6页

加强练(六)　平面向量、复数 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(2020·温州适应性考试)已知i是虚数单位，则＝(　　)‎ A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i 解析　＝＝＝1＋i，故选B.‎ 答案　B ‎2.(2020·北京东城区一模)设E为△ABC的边AC的中点，＝m＋n，则m，n的值分别为(　　)‎ A.－1， B.，－1‎ C.－，1 D.1， 解析　∵＝(＋)＝＝－＋，∴m＝－1，n＝.‎ 答案　A ‎3.(2019·诸暨期末)已知a，b，c∈R，i是虚数单位，若＝ci，则(　　)‎ A.a＝b B.a＝ C.a＝－b D.a＝－ 解析　由题意得1＋ai＝ci(b＋i)＝－c＋bci，则则a＝－b，故选C.‎ 答案　C ‎4.(2019·浙江十校联盟适考)若复数z＝(b∈R，i为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为(　　)‎ A.3 B.±3 ‎ C.－3 D.± 解析　由复数z＝＝＝的实部和虚部相等得＝－，解得b＝－3，故选C.‎ 答案　C ‎5.(2020·北京石景山区期末)已知平面向量a＝，b＝，则下列关系正确的是(　　)‎ A.(a＋b)⊥b B.(a＋b)⊥a C.(a＋b)⊥(a－b) D.(a＋b)∥(a－b)‎ 解析　a＋b＝，a－b＝，∵(a＋b)·(a－b)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b).‎ 答案　C ‎6.(2020·北京西城区二模)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则|a＋tb|的取值范围是(　　)‎ A.[，＋∞) B.[，＋∞)‎ C.[，6] D.[，6]‎ 解析　|a＋tb|＝＝＝＝≥，当t＝－1时取等号.‎ 答案　B ‎7.(2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.‎ ‎∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝.‎ ‎∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.故选B.‎ 答案　B ‎8.(2020·北京大兴区期末)已知i，j，k为共面的三个单位向量，且i⊥j，则(i＋k)·(j＋k)的取值范围是(　　)‎ A.[－3，3] B.[－2，2]‎ C.[－1，＋1] D.[1－，1＋]‎ 解析　由i⊥j，则i·j＝0，‎ 又i，j为单位向量，则|i＋j|＝＝，‎ 则(i＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i＋j)·k＋k2‎ ‎＝(i＋j)·k＋1＝|i＋j|cos〈i＋j，k〉＋1＝cos〈i＋j，k〉＋1，‎ 由－1≤cos〈i＋j，k〉≤1，‎ 由(i＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－，1＋].‎ 答案　D ‎9.(2019·郑州二预)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝，若对于任意实数k，不等式|ka＋tb|＞1恒成立，则实数t的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－)∪(，＋∞)‎ B.∪ C.(，＋∞)‎ D. 解析　由题意可得|a|2－2a·b＋|b|2＝7，又|a|＝1，|b|＝2，所以1－2a·b＋4＝7，即a·b＝－1.|ka＋tb|＞1恒成立，即k2|a|2＋2kta·b＋t2|b|2＞1恒成立，即k2－2kt＋4t2－1＞0恒成立，则关于k的方程k2－2tk＋4t2－1＝0的判别式Δ＝4t2－4(4t2－1)＜0，所以t2＞，解得t＞或t＜－，故选B.‎ 答案　B ‎10.(2020·嘉、丽、衢模拟)已知a，b，c是平面内的三个单位向量，若a⊥b，则|a＋2c|＋|3a＋2b－c|的最小值为(　　)‎ A. B.－3 C.－2 D.5‎ 解析　因为a，b，c为平面内三个单位向量，且a⊥b，则不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，且x2＋y2＝1，则|a＋2c|＋|3a＋2b－c|＝＋＝＋＝＋，‎ 其表示圆心在原点的单位圆上的点到点A(－2，0)，B(3，2)的距离之和，因为直线AB与单位圆有交点，所以|a＋2c|＋|3a＋2b－c|＝＋≥＝，当且仅当点(x，y)为圆心在原点的单位圆与直线AB的交点时，等号成立，所以|a＋2c|＋|3a＋2b－c|的最小值为，故选A.‎ 答案　A 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)‎ ‎11.(2019·天津卷)i是虚数单位，则的值为________.‎ 解析　∵＝＝2－3i，‎ ‎∴＝|2－3i|＝.‎ 答案　 ‎12.(2020·北京朝阳区一模)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)，若a∥b，则x＝________；若a⊥b，则x＝________.‎ 解析　由向量平行的充要条件可得2×x－1×(－1)＝0，解得x＝－；‎ 由向量垂直的充要条件得2×1＋(－1)x＝0，解得x＝2.‎ 答案　－　2‎ ‎13.(2020·嘉、丽、衢模拟)设i为虚数单位，给定复数z＝，则z的虚部为________，|z|＝________.‎ 解析　复数z＝＝＝＝－2＋2i，则复数z的虚部为2，|z|＝＝2.‎ 答案　2　2 ‎14.(2019·北京东城区二模)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点.当点P在BC边上时，·的值为________；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，·的最小值为________.‎ 解析　以A为原点建立平面直角坐标系，‎ 则A(0，0)，O(1，0)，B(2，0)，‎ ‎(1)设P(2，b)，·＝(2，0)·(1，b)＝2；‎ ‎(2)当点P在BC上时，·＝2；‎ 当点P在AD上时，设P(0，b)，·＝(2，0)·(－1，b)＝－2；‎ 当点P在CD上时，设点P(a，1)(0＜a＜2)，‎ ·＝(2，0)·(a－1，1)＝2a－2，‎ 因为0＜a＜2，所以，－2＜2a－2＜2，即·∈(－2，2)，综上可知，·的最小值为－2.‎ 答案　(1)2　(2)－2‎ ‎15.(2020·成都一诊)已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若＝λ，则△ABC与△APQ的面积之比为________.‎ 解析　设＝μ，＝×(＋)＝＝＋，由于P，G，Q三点共线，故＋＝1，μ＝.由于△ABC与△APQ有公共角A，由三角形面积公式得＝＝＝.‎ 答案　 ‎16.(2020·北京朝阳区一模)在平面内，点A是定点，动点B，C满足||＝||＝1，·＝0，则集合{P|＝λ＋，1≤λ≤2}所表示的区域的面积是________.‎ 解析　以A为原点建立平面直角坐标系，由于||＝||＝1，·＝0，即⊥，故设B(cos α，sin α)，C，即C(－sin α，cos α)，设P(x，y)，由＝λ＋得(x，y)＝(λcos α－sin α，λsin α＋cos α)，即x＝λcos α－sin α，y＝λsin α＋cos α，则x2＋y2＝λ2＋1，故P表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于1≤λ≤2，故P点所表示的区域是圆心在原点，半径为， 的两个圆之间的扇环，故面积为π×5－π×2＝3π.‎ 答案　3π ‎17.已知向量a，b满足|a|＝1，|2a＋b|＋|b|＝4，则|a＋b|的最大值为________，|a＋b|的最小值为________.‎ 解析　|a|＝1，不妨设a＝(1，0)，由|2a＋b|＋|b|＝4，得|a＋b＋a|＋|a＋b－a|＝4，令z＝a＋b＝(O为坐标原点)，点Z的轨迹是以(－1，0)，(1，0)为焦点的椭圆，方程为＋＝1，长半轴为2，短半轴为，∴|a＋b|＝|z|∈[，2].‎ 答案　2