高中数学必修2教案：投影与直观图 4页

投影与直观图 教学目标：1、了解表示空间图形的投影方法原理 ‎2、掌握斜二测画法 ‎3、了解中心投影方法 教学重点：掌握斜二测画法 教学过程：‎ 一、投影法 物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。如图1—1所示，以不在投影面上的定点S为投影中心，由S射出投影线，该投影线通过空间点A与投影面P相交于点ɑ，点ɑ就是空间点A在投影面P上的投影。同理，点b则是空间点B在投影面P上的投影。这种使物体在投影面上产生图像的方法叫投影法。工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样。‎ 二、投影法分类 ‎1.中心投影法 投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法(图1—2)。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。‎ 图1—1 投影法 图1—2 中心投影法 ‎ ‎2.平行投影法 投影线相互平行的投影法称为平行投影法(图1—3)。其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法〔图1—3(ɑ)〕；投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法〔图1—3(b)〕。‎ ‎(ɑ)平行斜投影 (b)平行正投影 图1—3 平行投影法 应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小，且与物体到投影面的距离无关，因而作图方便，故在工程中得到广泛的应用。工程图样就是用正投影法绘制的。‎ 三、平行投影的基本特性 ‎ 平行投影的基本特性，是指空间几何要素——点、线、面经过平行投影后的特性。‎ ‎1.点的投影仍为点 如图1—4所示，空间A点的投影为点ɑ。‎ ‎2.直线的投影一般仍为直线 如图1—5所示，AB直线的投影为直线ɑb。‎ 图1—4 点的投影 图1—5 直线的投影 ‎3.一点在某直线上，则点的投影一定在该直线的投影上 如图1—6所示，点M在直线AB上，那么点M的投影m也一定在直线AB的投影ɑb上。‎ ‎4.直线上两线段之比，等于其投影之比 从图1—6中可以看出，点M分直线AB为AM和MB，而其投影为ɑm和mb，则AM∶MB=ɑm∶ mb。因位于同一平面的两直线(AB及ɑb)被若干平行直线所截，则被截各段成比例。‎ ‎5.两直线平行，其投影亦平行 如图1—7所示，设AB∥CD，则ɑb∥cd。因AB与CD平行，AB、CD与投影线所构成的二平面——ABbɑ与CDdc必然互相平行，它们与第三平面H相交，其交线也一定平行。‎ 图1—6 点在直线上的投影 图1—7 平行两直线的投影 ‎6.两平行线段之比，等于其投影之比 如图1—7所示，当线段AB∥CD，则ΔABM相似于ΔCDN，又AM=ɑb，CN=cd，所以AB:CD=AM:CN=ɑb:cd。‎ ‎7.直线、平面图形投影的三种特性 ‎(1)积聚性——当直线或平面图形与投影线平行时，则它们的投影有积聚性。如图1—8所示，直线AB和ΔCDE皆平行于S，所以AB的投影积聚为一点；而ΔCDE积聚成一条直线cde。‎ ‎(2)实形性——当直线或平面图形平行于投影面时，则其投影反映实形。如图1—9中，直线AB与平面ΔCDE均平行于投影面H，则它们的投影ɑb=AB反映线段实长；Δcde=ΔCDE反映平面的实形。‎ ‎(3)类似性——直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影变短了；而平面图形变成小于原图形的类似形，如图1—10所示。‎ 图1—8 平行投影的积聚性 图1—9 平行投影的实形性 ‎ ‎ 图1—10 平行投影的类似性 四、常用的投影图概述 ‎1、轴测投影图 ‎ 图1—11 轴测投影图 用平行正投影法或斜投影法将空间几何形体及确定其空间位置和形状的直角坐标系，共同投影在单一投影面上所得的图形称为轴测投影图，简称轴测图。如图1—11所示，空间一立方体连同其直角坐标OX、OY、OZ一同向平面P投影，得到轴测投影轴O1X1、O1Y1、O1Z1及立方体的轴测图 轴测投影的种类很多，常用的是斜二轴测投影和正等轴测投影 ‎2、透视投影图 透视投影图采用中心投影法，它与照相成影的原理相似，投影图接近于视觉映象。所以透视投影图富有逼真感，直观性强。按照特定规则画出的透视投影图，完全可以确定空间几何元素的几何关系。图1—13是某一几何体的透视投影图，但它不能直接反映物体真实的几何形状和大小。由于采用中心投影法，所以空间平行的直线，投影后就不平行了。‎ 透视投影图虽然直观性强，但由于作图复杂且度量性较差，故在工程上只用于土建工程及大型设备的辅助图样。随着计算机绘图技术的发展，用计算机绘制透视图，可避免人工作图的繁杂性。由此，在某些场合如工艺美术及宣传广告图样中广泛地采用透视图，以取其直观性强的优点。‎ 图1—13 几何体的透视图 五、斜二测画法见教材第18页到19页 课堂练习：教材第21页 练习A、B 小结：‎ 平行投影的概念及基本性质，斜二测画法.‎ 课后作业：教材第34页 习题1‎-1A：5、6.‎