高三数学总复习学案8 10页

学案8　对数与对数函数 导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 自主梳理 ‎1．对数的定义 如果________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．‎ ‎2．对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的性质(a>0且a≠1)‎ ‎①＝____； ②＝____；‎ ‎③＝____； ④＝____.‎ ‎(2)对数的重要公式 ‎①换底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)；‎ ‎②＝，推广＝________.‎ ‎(3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝___________________________；‎ ‎②loga＝______________________；‎ ‎③logaMn＝__________(n∈R)；‎ ‎④＝logaM.‎ ‎3．对数函数的图象与性质 a>1‎ ‎01时，______‎ 当01时，______当00的x的取值范围是 (　　)‎ A．(0，＋∞) B．(0，)∪(2，＋∞)‎ C．(0，)∪(，2) D．(0，)‎ ‎5．(2011·台州期末)已知0b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a ‎(2)设a，b，c均为正数，且‎2a＝，()b＝，()c＝log‎2c，则 (　　)‎ A．a0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．‎ 变式迁移3　(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|lg x|，若00，a≠1)．‎ ‎(1)解关于x的不等式：loga(1－ax)>f(1)；‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0.‎ ‎【答题模板】‎ ‎(1)解　∵f(x)＝loga(1－ax)，‎ ‎∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a>0.∴0loga(1－a)．‎ ‎∴，即∴00，∴ax<1.‎ ‎∴a>1时，f(x)的定义域为(－∞，0)；[6分]‎ ‎0x1>0，∴<.‎ ‎∴>1.∴<0.‎ ‎∴f(x2)1时，也有y21或00且a≠1.‎ ‎①若a>1，则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0.‎ ‎②若0logag(x)⇔00且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根．对于logaf(x)>logag(x)等价于01时，‎ ‎(2)形如F(logax)＝0、F(logax)>0或F(logax)<0，一般采用换元法求解．‎ ‎ ‎ ‎(满分：75分)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于 (　　)‎ A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)‎ C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)‎ ‎2．(2010·全国Ⅰ)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，则 (　　)‎ A．af(－a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)‎ ‎4．(2011·济南模拟)设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有 (　　)‎ A．f()0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为 (　　)‎ A. B. C．2 D．4‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22＝________.‎ ‎7．(2011·湖南师大附中检测)已知函数f(x)＝lg在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围是____________．‎ ‎8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值时x的值．‎ ‎10．(12分)(2011·北京东城1月检测)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；‎ ‎(3)若a>1时，求使f(x)>0的x的解集．‎ ‎11．(14分)(2011·郑州模拟)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．‎ ‎(1)求y＝f(x)的定义域；‎ ‎(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；‎ ‎(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．‎ 答案 自主梳理 ‎1．ax＝N(a>0，且a≠1)　x＝logaN　a　N　2.(1)①N　②0　③N　④1　(2)①　②logad　(3)①logaM＋logaN　②logaM－logaN　③nlogaM　3.(1)(0，＋∞)　(2)R　(3)(1,0)　1‎ ‎　0　(4)y>0　y<0　(5)y<0　y>0 (6)增　(7)减　4.y＝logax　y＝x 自我检测 ‎1．C　2.A ‎3．A　[因为3<2＋log23<4，故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)．又3＋log23>4，故f(3＋log23)＝3＋log23＝3·＝.]‎ ‎4．B　[由题意可得：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，f(|logx|)>f()，f(x)在[0，＋∞)上递增，于是|logx|>，解得x的取值范围是(0，)∪(2，＋∞)．]‎ ‎5．m>n 解析　∵m<0，n<0，∵＝logac·logcb＝logabn.‎ 课堂活动区 例1　解题导引　在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．‎ 解　(1)方法一　利用对数定义求值：‎ 设＝x，‎ 则(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1，‎ ‎∴x＝－1.‎ 方法二　利用对数的运算性质求解：‎ ‎＝‎ ‎＝＝－1.‎ ‎(2)原式＝(lg 32－lg 49)－lg 8＋‎ lg 245＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)‎ ‎＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5‎ ‎＝lg 2＋lg 5‎ ‎＝lg (2×5)＝lg 10＝.‎ ‎(3)由已知得lg()2＝lg xy，‎ ‎∴()2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.‎ ‎∴()2－6()＋1＝0.∴＝3±2.‎ ‎∵∴>1，∴＝3＋2，‎ ‎∴log(3－2)＝log(3－2)(3＋2)‎ ‎＝log＝－1.‎ 变式迁移1　解　(1)原式＝log2＋log212－log2－log22‎ ‎＝log2＝log2＝log22－＝－.‎ ‎(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25‎ ‎＝‎21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.‎ 例2　解题导引　比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．‎ 解　(1)①∵log3log51＝0，∴log3log0.71.1>log0.71.2.‎ ‎∴<，‎ 由换底公式可得log‎1.10.7‎a>c.‎ 而y＝2x是增函数，∴2b>‎2a>‎2c.‎ 变式迁移2　(1)A　[a＝log3π>1，b＝log23，则b>c.]‎ ‎(2)A　[∵a，b，c均为正，‎ ‎∴loga＝‎2a>1，logb＝()b∈(0,1)，‎ log‎2c＝()c∈(0,1)．‎ ‎∴01时，得a－1≤≤a，即a≥3；‎ 当01，∴lg a<0，lg b>0.由f(a)＝f(b)，‎ ‎∴－lg a＝lg b ，ab＝1.‎ ‎∴b＝，∴a＋2b＝a＋，‎ 又01＋＝3，即a＋2b>3.]‎ 课后练习区 ‎1．C　[∵x≥0，∴y＝()x∈(0,1]，∴M＝(0,1]．‎ 当01，＝log2e>1，log23>log2e.‎ ‎∴>>1，∴0log3＝，∴a>.‎ b＝ln 2>ln ＝，∴b>.‎ c＝5－＝<，∴c0时，f(a)＝log‎2a，f(－a)＝，‎ f(a)>f(－a)，即log‎2a>＝log2，‎ ‎∴a>，解得a>1.‎ ‎②当a<0时，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)，‎ f(a)>f(－a)，即>log2(－a)＝，‎ ‎∴－a<，解得－11.]‎ ‎4．C　[由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝ln x，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，‎ ‎∵|2－1|>|－1|>|－1|，‎ ‎∴f()0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f(x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的单调函数，f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由题意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．]‎ ‎6．3‎ ‎7．(1,2)‎ 解析　因为f(x)＝lg在区间[1,2]上是增函数，所以g(x)＝a＋在区间[1,2]上是增函数，且g(1)>0，于是a－2<0，且‎2a－2>0，即11时，f(x)在定义域{x|－10⇔>1.‎ 解得00的x的解集是{x|00，得()x>1，且a>1>b>0，得>1，所以x>0，即f(x)的定义域为(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)‎ ‎(2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，则>>0，，所以>>0，‎ 即>．故f(x1)>f(x2)．‎ 所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)‎ 假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．‎ 故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．…………(10分)‎ ‎(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)‎