高考数学专题复习教案： 不等式选讲备考策略 3页

不等式选讲备考策略 主标题：不等式选讲备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：绝对值不等式，含参数不等式，不等式证明，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 热点一　含绝对值不等式的解法 例1　不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1的解集为________________．‎ 答案　 解析　①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.‎ ‎②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，‎ 解得x<－，∴－3≤x<－.‎ ‎③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，‎ 解得x>2，∴x>2.‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ ‎【备考策略】　(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：‎ ‎①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．‎ ‎(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．‎ ‎ (1)若不等式|x＋1|＋|x－2|0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；‎ ‎(2)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2；‎ ‎(3)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.‎ 证明　(1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2·(a－b)＝(a－b)(3a2－2b2)．‎ ‎∵a≥b>0，∴a－b≥0,3a2－2b2>0.‎ ‎∴(a－b)(3a2－2b2)≥0.‎ ‎∴3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.‎ ‎(2)a6＋8b6＋c6≥3 ‎＝3×a2b2c2＝2a2b2c2，‎ ‎∴a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2.‎ ‎(3)∵a2＋4b2≥2＝4ab，‎ a2＋9c2≥2＝6ac，‎ ‎4b2＋9c2≥2＝12bc，‎ ‎∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc，‎ ‎∴a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.‎ ‎【备考策略】　(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．‎ ‎(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．‎ 设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.‎ 证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.‎ 热点三　不等式的综合应用 例3　已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．‎ 答案　2‎ 解析　先化简式子，再利用基本不等式求解最值，注意等号取得的条件．‎ ‎∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，‎ ‎∴(am＋bn)(bm＋an)‎ ‎＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2‎ ‎＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)‎ ‎≥2ab·mn＋2(a2＋b2)‎ ‎＝4ab＋2(a2＋b2)‎ ‎＝2(a2＋b2＋2ab)‎ ‎＝2(a＋b)2＝2，‎ 当且仅当m＝n＝时，取“＝”．‎ ‎∴所求最小值为2.‎ ‎【备考策略】　利用基本不等式求解最值时，有时需化简代数式，切记等号成立的条件．‎ ‎ 设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝________.‎ 答案　 解析　通过等式找出a＋b＋c与x＋y＋z的关系．‎ 由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①‎ ‎①与a2＋b2＋c2＝10相加可得 ‎(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，‎ 所以不妨令，‎ 则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，即＝.‎