2020年高中数学 第三章 不等式 5页

‎3.3.1‎‎ 基本不等式 ‎ [A　基础达标]‎ ‎1．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为(　　)‎ A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B.‎ ‎2．已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)‎ A．m＞n　　　　　　　 B．m＜n C．m＝n D．不确定 解析：选A.因为a＞2，所以a－2＞0.‎ 又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立)．‎ 即m∈[4，＋∞)，‎ 由b≠0得b2≠0，‎ 所以2－b2＜2.所以22－b2＜4，即n＜4.‎ 所以n∈(0，4)，综上易知m＞n.‎ ‎3．下列不等式中正确的是(　　)‎ A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 解析：选D.若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错误．取a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误．取a＝4，b＝16，则＜，故C错误．由基本不等式可知选项D正确．‎ ‎4．某厂产值第二年比第一年增长p%，第三年比第二年增长q%，又这两年的平均增长率为s%，则s与的大小关系是(　　)‎ A．s＝ B．s≤ 5‎ C．s> D．s≥ 解析：选B.由已知得(1＋s%)2‎ ‎＝(1＋p%)(1＋q%)‎ ‎≤＝，‎ 于是1＋s%≤1＋.‎ 故s≤.‎ ‎5．设M＝，N＝()x＋y，P＝3(x，y＞0，且x≠y)，则M，N，P大小关系为(　　)‎ A．M＜N＜P B．N＜P＜M C．P＜M＜N D．P＜N＜M 解析：选D.由基本不等式可知≥＝()x＋y＝3≥3，因为x≠y，‎ 所以等号不成立，故P＜N＜M.‎ ‎6．若a＜1，则a＋与－1的大小关系是________．‎ 解析：因为a＜1，‎ 即a－1＜0，‎ 所以－＝(1－a)＋ ‎≥2＝2.即a＋≤－1.‎ 答案：a＋≤－1‎ ‎7．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．　‎ 解析：因为a＞b＞c，‎ 所以a－b＞0，b－c＞0.‎ ≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.‎ 答案：≤ ‎8．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat____loga 5‎ ‎(填“>”“≥”“≤”或“<”)．‎ 解析：因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，‎ 又a>0，所以a>1，‎ 因为t>0，所以≥，‎ 所以loga≥loga＝logat.‎ 答案：≤‎ ‎9．已知f(x)＝ax(a>0且a≠1)，当x1≠x2时，比较f与的大小．‎ 解：因为f(x)＝ax，‎ 所以f＝a，‎ [f(x1)＋f(x2)]＝(ax1＋ax2)．‎ 因为a>0且a≠1，x1≠x2，‎ 所以ax1>0，ax2>0，且ax1≠ax2，‎ 所以(ax1＋ax2)> ＝a，‎ 即f<[f(x1)＋f(x2)]．‎ ‎10．已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：＋＋＞3.‎ 证明：＋＋ ‎＝＋＋＋＋＋－3‎ ‎＝＋＋‎ －3.‎ 因为a，b，c都是正数，‎ 所以＋≥2＝2，‎ 同理＋≥2，＋≥2，‎ 5‎ 所以＋＋≥6.‎ 因为a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，‎ 所以＋＋＞6，‎ 所以＋＋＞3.‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A．[0，2] B．[－2，0]‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ 解析：选D.因为2x＋2y≥2，2x＋2y＝1，‎ 所以2≤1，‎ 所以2x＋y≤＝2－2，‎ 所以x＋y≤－2，‎ 即(x＋y)∈(－∞，－2]．‎ ‎12．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________．‎ 解析：原式等价于x＋y＋3＝xy≤(当且仅当x＝y时取等号)，所以x＋y＋3≤，‎ 即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0.‎ 解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．‎ 所以x＋y的取值范围是[6，＋∞)．‎ 答案：[6，＋∞)‎ ‎13．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)＋＋≥1.‎ 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，‎ 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ 5‎ ‎(2)因为＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.‎ 所以＋＋≥1.‎ ‎14．(选做题)是否存在常数c，使得不等式＋≤c≤＋对任意正实数x，y恒成立？证明你的结论．‎ 解：当x＝y时，由已知不等式得c＝.下面分两部分给出证明：‎ ‎(1)先证＋≤，此不等式⇔‎ ‎3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)⇔2xy≤x2＋y2，此式显然成立．‎ ‎(2)再证＋≥，此不等式⇔‎ ‎3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)⇔x2＋y2≥2xy，此式显然成立．‎ 综上可知，存在常数c＝，对任意的实数x，y使题中的不等式成立．‎ 5‎