高中数学第一章不等关系与基本不等式5不等式的应用学案北师大版选修4-51 4页

§5 不等式的应用 1．进一步掌握不等式的性质，并应用不等式的性质解决一些简单的实际问题． 2．能用定理 2 和定理 4 求函数的最值，并能解决实际应用问题． 对定理 2、定理 4 的理解 (1)定理 2：对任意的两个数 a，b，有a＋b 2 ≥______(此式当且仅当 a＝b 时取“＝”号)． (2)定理 4：对任意的三个数 a，b，c，有________≥ 3 abc(此式当且仅当 a＝b＝c 时取 “＝”号)． 【做一做 1】已知2 x ＋3 y ＝2(x＞0，y＞0)，则 xy 的最小值为________． 【做一做 2】函数 y＝x2＋4＋8 x (x＞0)的最小值为________． 【做一做 3】已知 x＞0，y＞0，且1 x ＋9 y ＝1，则 x＋y 的最小值是( )． A．16 B．15 C．14 D．13 答案： (1) ab (2)a＋b＋c 3 【做一做 1】6 已知 2＝2 x ＋3 y ， ∵x＞0，y＞0， ∴2＝2 x ＋3 y ≥2 6 xy ，即 xy≥6 当且仅当2 x ＝ 3 y ，即 x＝2，y＝3 时取“＝”号 ． ∴xy 的最小值为 6． 【做一做 2】3 3 16＋4 ∵x＞0，∴y＝x2＋8 x ＋4＝x2＋4 x ＋4 x ＋4≥3 3 x2·4 x ·4 x ＋4＝ 3 3 16＋4．当且仅当 x2＝4 x ，即 x＝ 3 4时取“＝”号，∴所求最小值为 3 3 16＋4． 【做一做 3】A ∵x＞0，y＞0，1 x ＋9 y ＝1， ∴x＋y＝ 1 x ＋9 y (x＋y)＝y x ＋9x y ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即 x＝4，y＝12 时等号成立． 故当 x＝4，y＝12 时，x＋y 的最小值为 16． 1．重要不等式的理解 剖析：当 a，b，c∈R 时，a2＋b2≥2ab，a3＋b3＋c3≥3abc；当 a，b，c 为正实数时，a ＋b≥2 ab，a＋b＋c≥3 3 abc．两组不等式成立的条件是不同的，但等号成立的条件均为 a ＝b＝c． 2．三个正数或三个以上正数的平均值不等式的应用条件 剖析：“一正”：不论是三个数或 n 个数的平均值不等式都要求是正数，否则不等式是 不成立的．“二定”：包含两类求最值问题，一是已知 n 个正数的和为定值(即 a1＋a2＋… ＋an 为定值)，求其积 a1a2…an 的最大值；二是已知积 a1a2…an 为定值，求其和 a1＋a2＋…＋ an 的最小值；“三相等”：取等号的条件是 a1＝a2＝a3＝…＝an，不能只是其中一部分相等． 题型一 利用均值不等式求函数的最值 【例 1】(1)求函数 y＝x＋ 1 2x (x＜0)的最大值； (2)求函数 y＝x(a－2x)(x＞0，a 为大于 2x 的常数)的最大值． 分析：将函数式合理变形，再用不等式的性质求函数的最值． 反思：在利用均值不等式求最值时，往往需将所给不等式变形，拆分或拼凑都是常见的 方法，但在变化过程中要注意式子的等价性及符号不等式的条件． 题型二 利用均值不等式解决实际问题 【例 2】一份印刷品，其排版面积为 432 cm2(矩形)，要求左右留有 4 cm 的空白，上下 留有 3 cm 的空白，问矩形的长和宽各为多少时，用纸最省？ 分析：根据矩形面积与矩形长和宽的关系列出方程，再利用不等式求最值． 反思：利用不等式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模 型，最后通过基本不等式解题． 题型三 易错辨析 【例 3】求函数 y＝1－2x－3 x 的最值． 错解：y＝1－2x－3 x ＝1－ 2x＋3 x ． ∵2x＋3 x ≥2 2x·3 x ＝2 6． ∴y≤1－2 6，故 y 的最大值为 1－2 6． 错因分析：重要不等式 a＋b≥2 ab成立的前提条件是 a＞0，b＞0．以上解题过程中没 有注意这个前提条件． 反思：在利用不等式进行证明或求值时，一定要注意不等式成立的条件，即“一正，二 定，三相等”． 答案： 【例 1】解：(1)∵x＜0， ∴y＝x＋ 1 2x ＝－ －x＋ 1 －2x ≤－2 －x· 1 －2x ＝－ 2． 当且仅当 x＝－ 2 2 时，取“＝”号， ∴所求最大值为－ 2． (2)∵x＞0，a＞2x， ∴y＝x(a－2x)＝1 2 ·2x·(a－2x)≤1 2 2x＋ a－2x 2 2＝a2 8 ． 当且仅当 x＝a 4 时，取“＝”号． ∴所求最大值为a2 8 ． 【例 2】解：设矩形的长为 x cm，则宽为432 x cm，则总面积为： y ＝ (x ＋ 8) 432 x ＋6 ＝ 432 ＋ 48 ＋ 6x ＋ 432×8 x ＝ 480 ＋ 6 x＋72×8 x ≥480 ＋ 6×2 x·72×8 x ＝768． 当且仅当 x＝72×8 x ，即 x＝24 时取等号． 此时宽为432 24 ＝18 cm． 所以当矩形的长为 24 cm，宽为 18 cm 时，用纸最省． 【例 3】正解：当 x＞0 时，y＝1－2x－3 x ＝1－ 2x＋3 x ≤1－2 6， 当且仅当 2x＝3 x ，即 x＝ 6 2 时，等号成立． ∴ymax＝1－2 6． 当 x＜0 时，y＝1＋(－2x)＋ 3 －x ≥1＋2 －2x －3 x ＝1＋2 6， 当且仅当－2x＝－3 x ，即 x＝－ 6 2 时等号成立， ∴ymin＝1＋2 6． 1 下列函数的最小值是 2 的是( )． A．y＝x＋1 x B．y＝sin x＋ 1 sin x 0＜x＜π 2 C．y＝ x2＋2＋ 1 x2＋2 D．y＝tan x＋ 1 tan x 0＜x＜π 2 2 函数 y＝3x＋4 x2(x＞0)的最小值是( )． A． 3 9 B．2 3 9 C．3 3 9 D．4 3 9 3 函数 y＝4sin2x·cos x 的最大值与最小值的差是__________． 4 已知球的半径为 R，球内接圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 r 和 h 为何值时，内接圆 柱的体积最大？ 答案： 1．D 选项 A 中，x＜0 时不满足；选项 B 中，等号取不到；选项 C 中，当 x2＋2＝ 1 x2＋2 时，得到 x2＝－1 显然不成立．故选项 D 正确． 2．C ∵x＞0，∴y＝3x＋4 x2＝3x 2 ＋3x 2 ＋4 x2≥3 3 3x 2 ×3x 2 ×4 x2＝3 3 9， 当且仅当3x 2 ＝4 x2，即 x＝2 3 9 3 时，取等号． 3．16 3 9 ∵y2 ＝16sin2xsin2xcos2x＝8(sin2xsin2x×2cos2x)≤8 sin2x＋sin2x＋2cos2x 3 3 ＝8× 8 27 ＝64 27 ， ∴y2≤64 27 ，当且仅当 sin2x＝2cos2x， 即 tan x＝± 2时取“＝”号． ∴ymax＝8 9 3，ymin＝－8 9 3． ∴ymax－ymin＝16 9 3． 4．解：如图，设内接圆柱的体积为 V，又 R2＝r2＋h2 4 ，∴r2＝R2－h2 4 ． 则有 V＝πr2h＝π(R2－h2 4 )h ＝π 4 (4R2－h2)h＝π 4 4R2－h2 2h2 ＝π 4 1 2 4R2－h2 4R2－h2 2h2 ≤π 4 1 2 4R2－h2＋4R2－h2＋2h2 3 3 ＝π 4 1 2 × 8R2 3 27 ＝4 3 9 πR3． 当且仅当 4R2－h2＝2h2． 即 3h2＝4R2，h＝2 3 3 R 时，等号成立． 此时 r＝ 6 3 R． 所以当 r＝ 6 3 R，h＝2 3 3 R 时，内接圆柱的体积最大，为4 3 9 πR3．