高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4-6函数的应用二课件新人教B版必修第二册 34页

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.6 　函数的应用 ( 二 ) 必备知识 · 探新知 关键能力 · 攻重难 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能 素养目标 · 定方向 素养目标 · 定方向 课程标准 学法解读 1. 会利用已知函数模型解决实际问题． 2 ．能建立函数模型解决实际问题． 　通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养． 必备知识 · 探新知 (1) 表达形式： f ( x ) ＝ ab x ＋ C ． (2) 条件： a ， b ， c 为常数， a ≠0 ， b ＞ 0 ， b ≠1 ． 指数函数型模型 知识点 一 (1) 表达形式： f ( x ) ＝ m log a x ＋ n ． (2) 条件： m ， n ， a 为常数， m ≠0 ， a ＞ 0 ， a ≠1 ． 对数函数型模型 知识点 二 (1) 解析式： y ＝ ax α ＋ b ( a ， b ， α 为常数， a ≠0 ， α ≠1) (2) 单调性：其增长情况由 x α 中的 α 的取值而定． 思考： 指数型、对数型函数模型都是递增的吗？ 提示： 不一定，也可能是递减的，根据底数的大小判断． 幂函数型模型 知识点 三 关键能力 · 攻重难 指数函数模型 题型探究 题型 一 　　　　某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2% ，试解答下列问题： (1) 写出该城市人口总数 y ( 万人 ) 与年份 x ( 年 ) 的函数关系式； (2) 计算 10 年后该城市人口总数 ( 精确到 0.1 万人 ) ； (3) 计算大约多少年后该城市人口将达到 120 万人 ( 精确到 1 年 ) ． ( 取 1.012 10 ＝ 1.127 ， log 1.012 1.20 ＝ 15) ． 典例剖析 典例 1 [ 分析 ] 　 具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数，利用归纳的方法，确定函数关系． [ 解析 ] 　 (1)1 年后该城市人口总数为： y ＝ 100 ＋ 100 × 1.2% ＝ 100(1 ＋ 1.2%) ； 2 年后该城市人口总数为： y ＝ 100 × (1 ＋ 1.2%) ＋ 100 × 1.2%(1 ＋ 1.2%) ＝ 100(1 ＋ 1.2%) 2 ； 3 年后该城市人口总数为： y ＝ 100 × (1 ＋ 1.2%) 2 ＋ 100 × (1 ＋ 1.2%) 2 · 1.2% ＝ 100(1 ＋ 1.2%) 3 ； x 年后该城市人口总数为： y ＝ 100 × (1 ＋ 1.2%) x ． (2)10 年后该城市人口数为： 100 × (1 ＋ 1.2%) 10 ＝ 112.7( 万 ) ． (3) 设 x 年后该城市人口将达到 120 万，即 100 × (1 ＋ 1.2%) x ＝ 120 ， ∴ 1.012 x ＝ 1.20. ∴ x ＝ log 1.012 1.20 ＝ 15( 年 ) ． 答：人口总数 y 与年份 x 间的函数关系是 y ＝ 100 × (1 ＋ 1.2%) x ， 10 年后的城市人口总数约为 112.7 万，大约 15 年后该城市人口将达到 120 万人． 规律方法：有关增长 ( 衰减 ) 率问题 在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为 N ，平均增长率为 P ，则对于时间 x 的总产值或总产量 y ，可以用公式 y ＝ N (1 ＋ P ) x 表示．解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．当增长率为负数即为降低率，此公式仍然适用，这里 P ＜ 0( 或 y ＝ N (1 － P ) x ， P ＞ 0) ． 1 ．某公司预投资 100 万元，有两种投资方案可供选择：方案一：年利率 10% ，按单利计算， 5 年后收回本金和利息；方案二：年利率 9% ，按每年复利一次计算， 5 年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资 5 年可多得利息多少元？ ( 结果精确到 0.01 万元 ) 对点训练 [ 解析 ] 　 本金 100 万元，年利率 10% ，按单利计算， 5 年后的本息和是 100 × (1 ＋ 10% × 5) ＝ 150( 万元 ) ． 本金 100 万元，年利率 9% ，按每年复利一次计算， 5 年后的本息和是 100 × (1 ＋ 9%) 5 ≈153.86( 万元 ) ． 由此可见，方案二更有利， 5 年后多得利息约 3.86 万元． 对数函数模型 题型 二 典例剖析 典例 2 (1) 求出 a 、 b 的值； (2) 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [ 分析 ] 　 (1) 根据已知列出方程组，解方程组求 a 、 b 的值； (2) 由 (1) 列出不等式，解不等式求 Q 的最小值． 规律方法： 对数函数 y ＝ log a x ( x ＞ 0 ， a ＞ 1) 经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢． 直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际上是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算． 2 ．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2016 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12 % ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 ( 　　 ) ( 参考数据： lg 1.12 ＝ 0.05 ， lg 1.3 ＝ 0.11 ， lg 2 ＝ 0.30) A ． 2018 年　　　　 B ． 2019 年 C ． 2020 年 D ． 2021 年 对点训练 C 　 函数模型的选择问题 题型 三 　　　　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为 100 t, 120 t,130 t ．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量 y 与月序数 x 之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数 y ＝ f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ， b ， c 均为待定系数， x ∈ N * ) 或函数 y ＝ g ( x ) ＝ pq x ＋ r ( p ， q ， r 均为待定系数， x ∈ N * ) ．现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为 137 t ，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 典例剖析 典例 3 规律方法：建立拟合函数与预测的基本步骤 对点训练 　　　　某工厂在两年内生产产值的月增长率都是 a ，则第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了第一年相应月的 ______ _ ______ ． [ 错解 ] 　 b (1 ＋ a ) 11 [ 辨析 ] 　 若某月的生产产值为 b ，月增长率为 a ，则 x 个月后的生产产值为 b (1 ＋ a ) x ，在解题过程中，易错认为是 b (1 ＋ a ) x － 1 ，从而导致错误． 典例剖析 典例 4 易错警示 (1 ＋ a ) 12 － 1 　 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能