2018届高三数学（理）一轮复习排列组合概率等考点专练 8页

板块命题点专练（十五） 命题点一 排列、组合 命题指数：☆☆☆☆ 难度：中 题型：选择题、填空题 1.(2016·全国甲卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位 于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24 B．18 C．12 D．9 解析：选 B 由题意可知 E→F 有 C 24种走法，F→G 有 C 13种走法，由乘法计数原理知， 共 C24·C13＝18 种走法，故选 B. 2．(2016·四川高考)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ( ) A．24 B．48 C．60 D．72 解析：选 D 第一步，先排个位，有 C 13种选择； 第二步，排前 4 位，有 A 44种选择． 由分步乘法计数原理，知有 C13·A44＝72(个)． 3．(2015·广东高考)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留 言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答) 解析：由题意，全班同学共写了 A240＝40×39＝1 560 条毕业留言． 答案：1 560 4．(2014·北京高考)把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与 产品 C 不相邻，则不同的摆法有________种． 解析：将 A，B 捆绑在一起，有 A 22种摆法，再将它们与其他 3 件产品全排列，有 A 44种 摆法，共有 A22A44＝48 种摆法，而 A，B，C 3 件在一起，且 A，B 相邻，A，C 相邻有 CAB， BAC 两种情况，将这 3 件与剩下 2 件全排列，有 2×A33＝12 种摆法，故 A，B 相邻，A，C 不相邻的摆法有 48－12＝36 种． 答案：36 5．(2014·浙江高考)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将这 8 张 奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按 2 张、1 张分给 4 个人中的 2 个人，种数为 C23C11A24＝36；另一种将 3 张有奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人，种数为 A34＝24，则获奖情 况总共有 36＋24＝60(种)． 答案：60 命题点二 二项式定理 命题指数：☆☆☆☆ 难度：中 题型：选择题、填空题 1.(2015·湖南高考)已知 x－ a x 5 的展开式中含 x 3 2 的项的系数为 30，则 a＝( ) A. 3 B．－ 3 C．6 D．－6 解析：选 D Tr＋1＝Cr5( x)5－r· －a x r＝Cr5(－a)rx5－2r 2 ，由5－2r 2 ＝3 2 ，解得 r＝1.由 C15(－ a)＝30，得 a＝－6. 2．(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4 的展开式中，记 xmyn 项的系数为 f(m，n)，则 f(3,0) ＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( ) A．45 B．60 C．120 D．210 解析：选 C 由题意知 f(3,0)＝C36C04，f(2,1)＝C26C14，f(1，2)＝C16C24，f(0,3)＝C06C34，因 此 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120，选 C. 3．(2016·全国乙卷)(2x＋ x)5 的展开式中，x3 的系数是________．(用数字填写答案) 解析：(2x＋ x)5 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5(2x)5－r( x)r＝25－r·Cr5·x5－r 2. 令 5－r 2 ＝3，得 r＝4. 故 x3 的系数为 25－4·C45＝2C45＝10. 答案：10 4．(2016·天津高考) x2－1 x 8 的展开式中 x7 的系数为________．(用数字作答) 解析： x2－1 x 8 的通项 Tr＋1＝Cr8(x2)8－r －1 x r＝(－1)rCr8x16－3r，当 16－3r＝7 时，r＝3， 则 x7 的系数为(－1)3C38＝－56. 答案：－56 5．(2014·全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8 的展开式中 x2y7 的系数为________．(用数字填写答案) 解析：(x＋y)8 中，Tr＋1＝Cr8x8－ryr，令 r＝7，再令 r＝6，得 x2y7 的系数为 C78－C68＝8－ 28＝－20. 答案：－20 命题点三 几何概型 命题指数：☆☆☆☆ 难度：中 题型：选择题、填空题 1.(2016·全国乙卷)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之 间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概 率是( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 解析：选 B 如图，7：50 至 8：30 之间的时间长度为 40 分钟，而小明等车时间不超 过 10 分钟是指小明在 7：50 至 8：00 之间或 8：20 至 8：30 之间到达发车站，此两种情况 下的时间长度之和为 20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为 P＝20 40 ＝1 2.故选 B. 2．(2015·福建高考)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)＝ x＋1，x≥0， －1 2x＋1，x<0 的图象上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点 取自阴影部分的概率等于( ) A.1 6 B.1 4 C.3 8 D.1 2 解析：选 B 因为 f(x)＝ x＋1，x≥0， －1 2x＋1，x<0， B 点坐标为(1,0)，所以 C 点坐标为(1,2)， D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形 ABCD 的面积为 2×3＝6，阴影部分的面积 为1 2 ×3×1＝3 2 ，故 P＝ 3 2 6 ＝1 4. 3．(2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构 成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个， 则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n 解析：选 C 因为 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn 都在区间[0,1] 内随机抽取，所以构成的 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都 在边长为 1 的正方形 OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方 和小于 1，则对应的数对在扇形 OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对 应的数对)，故在扇形 OAC 内的数对有 m 个．用随机模拟的方法可得 S 扇形 S 正方形 ＝m n ，即π 4 ＝m n ， 所以π＝4m n . 命题点四 概率、离散型随机变量及其分布 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题、解答题 1.(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学 每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ( ) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析：选 A 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(X＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中 3 次的概 率为 P(X＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为 P(X＝2)＋P(X＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63 ＝0.648.故选 A. 2．(2014·全国卷Ⅱ) 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量 为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后 一天的空气质量为优良的概率是( ) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 解析：选 A 根据条件概率公式 P(B|A)＝PAB PA ，可得所求概率为 0.6 0.75 ＝0.8. 3．(2015·湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点， 则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估 计值为( ) 附：若 X～N(μ，σ2)， 则 P(μ－σ