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- 2021-07-01 发布
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第五章 解三角形与平面向量
学案23 正弦定理和余弦定理
导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
自主梳理
1．三角形的有关性质
(1)在△ABC中，A＋B＋C＝________；
(2)a＋b____c，a－bb⇔sin A____sin B⇔A____B；
(4)三角形面积公式：S△ABC＝ah＝absin C＝acsin B＝_________________；
(5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或________________⇔三角形为等腰或直角三角形；
sin(A＋B)＝sin C，sin ＝cos .
2．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
________________
＝2R
a2＝____________，
b2＝____________，
c2＝____________.
变形
形式
①a＝__________，
b＝__________，
c＝__________；
②sin A＝________，
sin B＝________，
sin C＝________；
③a∶b∶c＝__________；
④＝
cos A＝________________；
cos B＝________________；
cos C＝_______________.
解决
的问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
自我检测
1．(2010·上海)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
2．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．(2011·烟台模拟)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则边a的值为( )
A．2 B.
C. D．3
4．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，
sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
5．(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
探究点一 正弦定理的应用
例1 (1)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求角A、C和边c；
(2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c.
变式迁移1 (1)在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________；
(2)在△ABC中，若a＝50，b＝25，A＝45°，则B＝________.
探究点二 余弦定理的应用
例2 (2011·咸宁月考)已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝3a，求tan A的值．
变式迁移2 在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝，b＝，a＋c＝4，求a.
探究点三 正、余弦定理的综合应用
例3 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．
变式迁移3 (2010·天津)在△ABC中，＝.
(1)证明：B＝C；
(2)若cos A＝－，求sin的值．
1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．
2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·湖北)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于 ( )
A．－ B. C．－ D.
2.在△ABC中AB＝3，AC=2，BC=，则等于 ( )
A．－ B．－ C. D.
3．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
4．(2011·聊城模拟)在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为( )
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
5．(2010·湖南)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，
c＝a，则 ( )
A．a>b B．a (3)> > (4)bcsin A (5)A＋B＝ 2.＝＝ b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C ①2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C ② ③sin A∶sin B∶sin C
自我检测
1．C 2.A 3.C
4. 5.1
课堂活动区
例1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC中．已知a、b和A，求B.若A为锐角，①当a≥b时，有一解；②当a＝bsin A时，有一解；③当bsin Ab时，有一解；②当a≤b时，无解．
解 (1)由正弦定理＝得，sin A＝.
∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝.
综上，A＝60°，C＝75°，c＝，
或A＝120°，C＝15°，c＝.
(2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.
由正弦定理＝＝，
得b＝＝4，c＝＝4＋4.
∴b＝4，c＝4＋4.
变式迁移1 (1) (2)60°或120°
解析 (1)∵在△ABC中，tan A＝，C＝150°，
∴A为锐角，∴sin A＝.
又∵BC＝1.
∴根据正弦定理得AB＝＝.
(2)由b>a，得B>A，由＝，
得sin B＝＝×＝，
∵0°a，∴B>A，
∴cos A＝＝.
∴tan A＝＝.
方法三 ∵c＝3a，由正弦定理，得sin C＝3sin A.
∵B＝，∴C＝π－(A＋B)＝－A，
∴sin(－A)＝3sin A，
∴sincos A－cossin A＝3sin A，
∴cos A＋sin A＝3sin A，
∴5sin A＝cos A，
∴tan A＝＝.
变式迁移2 解 由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B
＝a2＋c2－2accosπ
＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.
又∵a＋c＝4，b＝，∴ac＝3，
联立，解得a＝1，c＝3，或a＝3，c＝1.
∴a等于1或3.
例3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．
解 方法一 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)
⇔a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]
＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A，
由正弦定理，得
sin2Acos Asin B＝sin2Bcos Bsin A，
∴sin Asin B(sin Acos A－sin Bcos B)＝0，
∴sin 2A＝sin 2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，
得2A＝2B或2A＝π－2B，
即△ABC是等腰三角形或直角三角形．
方法二 同方法一可得2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A，
由正、余弦定理，即得
a2b×＝b2a×，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，
∴a＝b或c2＝a2＋b2，
∴三角形为等腰三角形或直角三角形．
变式迁移3 解题导引 在正弦定理＝＝＝2R中，2R是指什么？a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C的作用是什么？
(1)证明 在△ABC中，由正弦定理及已知得
＝.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0.
因为－π
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