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- 2021-07-01 发布
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课时分层作业(六) 组合的综合应用
(建议用时:40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )
A.60种 B.70种
C.75种 D.150种
C [从6名男医生中选出2名有C种选法,从5名女医生中选出1名有C种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有C·C=75种,故选C.]
2.圆上有10个点,过每三个点画一个圆内接三角形,则一共可以画的三角形个数为( )
【导学号:95032066】
A.720 B.360
C.240 D.120
D [确定三角形的个数为C=120.]
3.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球,从中取2个球,则这2个球同色的不同取法有( )
A.27种 B.24种
C.21种 D.18种
C [分两类:一类是2个白球有C=15种取法,另一类是2个黑球有C=6种取法,所以共有15+6=21种取法.]
4.某龙舟队有9名队员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有( )
A.56种 B.68种
C.74种 D.92种
D [根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类:划左舷中没有“多面手”的选派方法有CC种,有一个“多面手”的选派方法有CCC种,有两个“多面手”的选派方法有CC种,既共有20+60+12=92种不同的选派方法.]
5.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1人,最多2人,则不同的分配方案有( )
【导学号:95032067】
A.30种 B.90种
4
C.180种 D.270种
B [先将5名教师分成3组,有=15种分法,再将3组分配到3个不同班级有A=6种分法,故共有15×6=90种方案.]
二、填空题
6.4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有________种.
24 [依题意,满足题意的选法共有C×2×2=24种.]
7.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有________种.
18 [因为先从3个信封中选一个放标号为1,2的卡片,有3种不同的选法,再从剩下的4个标号的卡片中选两个放入一个信封有C=6种,余下的放入最后一个信封,所以共有3C=18(种).]
8.将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内.每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有________种.(以数字作答)
【导学号:95032068】
240 [从10个球中任取3个,有C种方法.取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种.
∴共有2C种方法.即240种.]
三、解答题
9.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.
[解] (1)C=792种不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有C=36种不同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有C=126种不同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有C
4
=3种选法,再从另外的9人中选4人有C种选法,共有CC=378种不同的选法.
(5)法一:(直接法)可分为三类:
第一类,甲、乙、丙中有1人参加,共有CC种不同的选法;
第二类,甲、乙、丙中有2人参加,共有CC种不同的选法;
第三类,甲、乙、丙3人均参加,共有CC种不同的选法;
共有CC+CC+CC=666种不同的选法.
法二:(间接法)12人中任意选5人共有C种,甲、乙、丙三人不能参加的有C种,所以共有C-C=666种不同的选法.
10.有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒子内.
(1)共有几种放法?
(2)恰有2个盒子不放球,有几种放法?
【导学号:95032069】
[解] (1)44=256(种).
(2)恰有2个盒子不放球,也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中,有两类放法;第一类,1个盒子放3个小球,1个盒子放1个小球,先把小球分组,有C种,再放
到2个小盒中有A种放法,共有CA种方法;第二类,2个盒子中各放2个小球有CC种放法,故恰有2个盒子不放球的方法共有CA+CC=84种放法.
[能力提升练]
一、选择题
1.某电视台连续播放5个广告,其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求最后播放的必须是公益广告,且2个公益广告不能连续播放,则不同的播放方式有( )
A.120种 B.48种
C.36种 D.18种
C [依题意,所求播放方式的种数为CCA=2×3×6=36.]
2.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )
【导学号:95032070】
A.16种 B.36种
C.42种 D.60种
D [(1)每城不超过1个项目,有A=24(种);(2)有1个城市投资2个项目,有CCC=36(种).
∴共有24+36=60(种)方案.]
二、填空题
3.以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个.
4
58 [先从8个顶点中任取4个的取法为C种,其中,共面的4点有12个,则四面体的个数为C-12=58个.]
4.某科技小组有六名学生,现从中选出三人去参观展览,至少有一名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为________.
2 [设男生人数为x,则女生有(6-x)人.依题意C-C=16,即6×5×4=x(x-1)(x-2)+16×6,所以x(x-1)(x-2)=2×3×4,解得x=4,即女生有2人.]
三、解答题
5.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.
(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?
(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?
【导学号:95032071】
[解] (1)先排前4次测试,只能取正品,有A种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有CA=A种测法,再排余下4件的测试位置,有A种测法.
所以共有不同测试方法A·A·A=103 680种.
(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有不同测试方法C·C·A=576种.
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