2020版高中数学 第二章 数列 同步精选测试 4页

同步精选测试　等比数列 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.2＋与2－的等比中项是(　　)‎ A.1　　　　B.－‎1　‎　　　C.±1　　　　D.2‎ ‎【解析】　2＋与2－的等比中项为G＝±＝±1，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎2.在等比数列{an}中，a2 017＝‎8a2 016，则公比q的值为(　　)‎ A.2 B‎.3 C.4 D.8‎ ‎【解析】　由等比数列的定义知q＝＝8.‎ ‎【答案】　D ‎3.在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－‎8a2，a5＞a2，则通项公式an＝(　　) ‎ ‎【导学号：18082094】‎ A.(－2)n－1 B.－(－2)n－1‎ C.(－2)n D.－(－2)n ‎【解析】　根据a5＝－‎8a2，有a1q4＝－‎8a1q，得q＝－2.‎ 又因为a5＞a2，所以a5＞0，a2＜0，a1＞0.‎ 所以a1＝1，所以an＝(－2)n－1.‎ ‎【答案】　A ‎4.若实数a，b，c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均不为0)的图象与x轴的交点个数为(　　)‎ A.0 B‎.1 C.2 D.不确定 ‎【解析】　因为b2＝ac＞0，且a，b，c均不为0，所以Δ＝b2－‎4ac＝－‎3ac＜0，故f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点.‎ ‎【答案】　A ‎5.已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)‎ A.21 B.42‎ C.63 D.84‎ ‎【解析】　∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，‎ ‎∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去).‎ ‎∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.‎ ‎【答案】　B 4‎ 二、填空题 ‎6.在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.‎ ‎【解析】　由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a‎1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎7.已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________. ‎ ‎【导学号：18082095】‎ ‎【解析】　由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.‎ 所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.‎ ‎【答案】　3×2n－3‎ ‎8.在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝________.‎ ‎【解析】　由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，‎ ‎∴q2＝9，∴q＝±3，∵an＞0，∴q＝3，‎ ‎∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.‎ ‎【答案】　27‎ 三、解答题 ‎9.已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a‎1a2a3＝8，求an.‎ ‎【解】　法一：因为a‎1a3＝a，‎ a‎1a2a3＝a＝8，所以a2＝2.‎ 从而 解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.‎ 当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.‎ 故an＝2n－1或an＝23－n.‎ 法二：由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2.‎ 代入已知，得 即 即 将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝.‎ 4‎ 由②，得或 故an＝2n－1或an＝23－n.‎ ‎10.数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.‎ ‎(1)求证：{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求{bn}的通项公式. ‎ ‎【导学号：18082096】‎ ‎【解】　(1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，‎ ‎∴＝＝＝－.‎ ‎∴{bn}是等比数列.‎ ‎(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，‎ ‎∴bn＝1×＝.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,‎2a2成等差数列，则等于(　　)‎ A.＋1 B.3＋‎2 C.3－2 D.2－3‎ ‎【解析】　设等比数列{an}的公比为q，‎ 由于a1，a3,‎2a2成等差数列，‎ 则2＝a1＋‎2a2，即a3＝a1＋‎2a2，‎ 所以a1q2＝a1＋‎2a1q.‎ 由于a1≠0，‎ 所以q2＝1＋2q，解得 q＝1±.‎ 又等比数列{an}中各项都是正数，‎ 所以q>0，所以q＝1＋.‎ 所以＝＝＝＝3－2.‎ ‎【答案】　C ‎2.已知等比数列{an}满足a1＝，a‎3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)‎ A.2　　　 B.1‎ C. D. 4‎ ‎【解析】　法一：∵a‎3a5＝a，a‎3a5＝4(a4－1)，‎ ‎∴a＝4(a4－1)，‎ ‎∴a－‎4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，‎ ‎∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.‎ 法二：∵a‎3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，‎ 将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，‎ 解得q＝2，∴a2＝a1q＝，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎3.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a‎1a2…an的最大值为________.‎ ‎【解析】　设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得 a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，‎ ‎∴a‎1a2…an≤a‎1a2a3a4＝64.‎ ‎【答案】　64‎ ‎4.已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，证明{an}是等比数列，并求出通项公式.‎ ‎【证明】　因为Sn＝2an＋1，所以Sn＋1＝2an＋1＋1.‎ 所以an＋1＝Sn＋1－Sn ‎＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)‎ ‎＝2an＋1－2an，‎ 所以an＋1＝2an.‎ 又因为S1＝‎2a1＋1＝a1，‎ 所以a1＝－1≠0.‎ 又由an＋1＝2an，知an≠0，‎ 所以＝2，‎ 所以{an}是等比数列.‎ 因为a1＝－1，q＝2，‎ 所以an＝－1×2n－1＝－2n－1.‎ 4‎