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- 2021-07-01 发布
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2.8 函数与方程
考点一 判断函数零点所在区间
1.已知实数a>1,01,00,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.
2.选D.令f(x)=0得x=ln x.作出函数y=x和y=ln x的图象,如图,
显然y=f(x)在内无零点,在(1,e)内有零点.
3.选B.因为函数y=x2与y=的图象交点为(x0,y0),则x0是方程x2=的解,也是函数f(x)=x2-的零点.
因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(2)=22-1=3>0,f(1)=1-2=-1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零点存在性定理可知,方程的解在(1,2)内.
4.选A.因为a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理.
(2)数形结合法.
【秒杀绝招】 用特殊值法可解T2.
考点二 确定函数零点的个数
【典例】1.函数f(x)=|x-2|-ln x零点的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为
( )
- 9 -
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是 ( )
A.9 B.10 C.11 D.18
【解题导思】
序号
联想解题
1
由f(x)=|x-2|-ln x的零点,想到|x-2|=ln x.
2
由f(x)=2sin x-sin 2x,想到化简,令f(x)=0求sin x与cos x的值.
3
由F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数,想到f(x)=|lg x|.
【解析】1.选C.作出函数y=|x-2|与g(x)=ln x的图象,如图所示.由图象可知两个函数的图象有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点.
2.选B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,
则sin x=0或cos x=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三个零点.
3.选B.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|lg x|的大致图象如图,由图象可知,它们共有10个不同的交点,因此函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是10.
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点.
(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.
(3)利用函数图象的交点个数判断.
1.函数f(x)=3x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=3+1-2=2>0,即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断,所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点.
- 9 -
2.已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.令f(x)+3x=0,则或解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.
3.已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是________.
【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.
由图象知y=与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.
因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.
答案:5
考点三 函数零点的应用
命
题
精
解
读
考什么:(1)由函数的零点有无、个数求参数值或范围、图象的交点、解方程、解不等式等问题.
(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.
怎么考:多以选择、填空题的形式考查.
新趋势:以函数图象与性质为载体,图象与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.
学
霸
好
已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.
- 9 -
方
法
(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
由零点的个数求参数值或范围
【典例】已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
【解析】选C.画出函数f(x)的图象,y=ex在y轴右侧的图象去掉,再画出直线y=-x,并上下移动,可以发现当直线过点(0,1)时,直线与函数图象有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图象有两个交点,即方程f(x)=-x-a有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足-a≤1,即a≥-1.
已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题的关键是什么?
提示:关键是将函数零点个数问题转化为方程解的个数,或两个函数图象交点的个数问题,再去求解.
由函数有无零点求参数
【典例】若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是
________.
【解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.
- 9 -
方程a=4x-2x可变形为a=-,
因为x∈[-1,1],所以2x∈,
令2x=t,t∈,a=-,0≤t-≤,0≤≤,-≤-≤2,
所以a=-的范围为,
所以实数a的取值范围是.
答案:
函数有(或无)零点如何求参数的范围?
提示:先分离参数,再依据有(或无)零点得出等式(或不等式),最后得出结论.
与函数零点有关的比较大小
【典例】(2019·承德模拟)已知a是函数f(x)=2x-lox的零点,若00
C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定
- 9 -
【解析】选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=lox的图象,由图象可知,当01)在(0,+∞)上恰有4个互不相同的零点,则实数a的值为________.
【解析】当x∈时,f(x)=1-|2x-1|=,且f(x)是定义在R上且周期为的周期函数,因为函数y=f(x)-logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4个互不相同的零点,所以函数y=f(x)与y=logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4个不同的交点,分别画出两函数图象如图所示,由图可知,当x=时,有loga=1,所以a=.
答案:
4.方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则k的取值范围是________.
【解析】令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得50,且函数f(x)=ln x+3x-8在(0,+∞)上为单调递增函数,所以x0∈[2,3],即a=2,b=3,所以a+b=5.
2.已知a为正常数,f(x)=若∃x1,x2∈R,使f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是________.
【解析】由于a>0,函数y=x2+ax+3在[0,+∞)上单调递增,当x=0时有最小值为3.在x<0时,函数为增函数,要使x1,x2存在,使得f(x1)=f(x2),则需20+a>3,解得a>2.
答案:(2,+∞)
- 9 -
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