2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用第三节函数的奇偶性对称性与周期性课件文北师大版 19页

第三节　 函数的奇偶性、对称性 与周期性 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【 教材 · 知识梳理 】 1. 函数的奇偶性定义 相同条件 : 对定义域内∀ x 不同条件 :f(-x) 与 f(x) 一个是 _____, 一个是相反 “ 数 ” 图像不同 : 一个关于 ____ 对称 , 一个关于 _____ 对称 . 相等 y 轴 原点 2. 函数的周期性 (1) 周期函数 : 对于函数 f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的任 何值时 , 都有 ____________, 那么就称函数 f(x) 为周期函数 , 称 T 为这个函数的周 期 . (2) 最小正周期 : 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个 ___________, 那么 这个 _________ 就叫做 f(x) 的最小正周期 . f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小正数 【 知识点辨析 】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 偶函数图像不一定过原点 , 奇函数的图像一定过原点 . ( 　　 ) (2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 . ( 　　 ) (3) 若 T 是函数的一个周期 , 则 nT(n∈Z,n≠0) 也是函数的周期 . ( 　　 ) (4) 若函数 y=f(x+a) 是偶函数 , 则函数 y=f(x) 关于直线 x=a 对称 . ( 　　 ) (5) 若函数 y=f(x+b) 是奇函数 , 则函数 y=f(x) 的图像关于点 (b,0) 中心对称 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 奇函数只有在原点有定义时才过原点 , 而偶函数不管在原点有无定义 , 都不一定过原点 . (2)√. 因为函数具有奇偶性 , 所以定义域一定关于原点对称 , 而定义域关于原点对 称的函数不一定具有奇偶性 . (3)√. 由周期函数的定义可知正确 . (4)√. 因为 y=f(x+a) 为偶函数 , 则 f(x+a)=f(-x+a)=f(a-x), 可知 x=a 为对称轴 . (5)√. 由于 y=f(x+b) 的图像关于 (0,0) 对称 , 根据图像平移变换 , 知 y=f(x) 的图像 关于 (b,0) 对称 , 正确 . 【 易错点索引 】 序号 易错警示 典题索引 1 奇偶函数的定义域关于原点对称 考点一、 T1 2 忽略奇偶函数定义中任意一个自变量 考点一、 T4 3 周期性与轴对称所对应解析式的差别 考点二、 T3 4 分段函数奇偶性的解析式 考点三、角度 1 【 教材 · 基础自测 】 1.( 必修 1P50 例 2 改编 ) 下列函数为偶函数的是 ( 　　 ) A.f(x)=x-1 B.f(x)=x 2 +x C.f(x)=2 x -2 -x D.f(x)=2 x +2 -x 【 解析 】 选 D.D 中 ,f(-x)=2 -x +2 x =f(x), 所以 f(x) 为偶函数 . 其余 A 、 B 、 C 选项均不满足 f(-x)=f(x). 2.( 必修 1P110T3(3) 改编 ) 设 f(x) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数 , 当 x∈[-1,1) 时 ,f(x)= 则 = 　　　　 .  【 解析 】 答案 : 1 3.( 必修 1 P109 习题 A 组 T12 改编 ) 已知定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0 时 , f(x)=log 2 x-3x, 则 f(-1)= 　　　 .  【 解析 】 因为 f(1)= log 2 1-3=-3, 又 f(x) 为定义在 R 上的奇函数 , 所以 f(-1)=-f(1)=3. 答案 : 3 解题新思维　活用奇函数最值性质 , 抽象函数的对称性解题　  【 结论 】 1. 奇函数的最值性质 已知函数 f(x) 是定义在区间 D 上的奇函数 , 则对任意的 x∈D, 都有 f(x)+f(-x)=0. 特别地 , 若奇函数 f(x) 在 D 上有最值 , 则 f(x) max +f(x) min =0, 且若 0∈D, 则 f(0)=0. 2. 抽象函数的对称性 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的函数 . (1) 若 f(a+x)=f(b-x) 恒成立 , 则 y=f(x) 的图像关于直线 x= 对称 , 特别地 , 若 f(a+x)=f(a-x) 恒成立 , 则 y=f(x) 的图像关于直线 x=a 对称 . (2) 若函数 y=f(x) 满足 f(a+x)+f(a-x)=0, 即 f(x)=-f(2a-x), 则 f(x) 的图像关于 点 (a,0) 对称 . (3) 若方程 y=f(x) 满足 f(a+x)+f(a-x)=2b, 则 f(x) 的图像关于 (a,b) 对称 . 【 典例 】 1. 设函数 f(x)= 的最大值为 M, 最小值为 m, 则 M+m= 　　　　 .  【 解析 】 显然函数 f(x) 的定义域为 R, f(x)= =1+ , 设 g(x)= , 则 g(-x)=-g(x), 所以 g(x) 为奇函数 , 由奇函数图像的对称性知 g(x) max +g(x) min =0, 所以 M+m=[g(x)+1] max +[g(x)+1] min =2+g(x) max +g(x) min =2. 答案 : 2 2. 函数 y=f(x) 对任意 x∈R 都有 f(x+2)=f(-x) 成立 , 且函数 y=f(x-1) 的图像关于 点 (1,0) 对称 ,f(1)=4, 则 f(2 020)+f(2 021)+f(2 022) 的值为 　　　　 . 世纪 金榜导学号  【 解析 】 因为函数 y=f(x-1) 的图像关于点 (1,0) 对称 , 所以函数 y=f(x) 的图像关 于 (0,0) 对称 , 所以 f(x) 是 R 上的奇函数 , 所以 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 故 f(x) 的周期为 4. 所以 f(2 021)=f(505×4+1)=f(1)=4, 所以 f(2 020)+f(2 022)=-f(2 018)+f(2 018+4)=-f(2 018)+f(2 018)=0, 所以 f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=4. 答案 : 4 【 迁移应用 】 　对于函数 f(x)=asin x+bx+c( 其中 a,b∈R,c∈Z), 选取 a,b,c 的一组值计算 f(1) 和 f(-1), 所得出结果一定不可能的是 ( 　　 ) A.4 和 6 　 B.3 和 1 　　 C.2 和 4 　　 D.1 和 2 【 解析 】 选 D. 因为 f(x)=asin x+bx+c, 所以 f(1)+f(-1)=2c, 又因为 c∈Z, 所以 f(1) 与 f(-1) 之和应为偶数 .