2021版高考数学一轮复习第五章平面向量复数5-3平面向量的数量积及平面向量的应用课件新人教B版 18页

第三节　平面向量的数量积及平面向量的应用 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 两个向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量 a 和 b ，作 = a ， = b ，则 ______ 就是 a 与 b 的夹角，记作 < a ， b > 设 θ 是 a 与 b 的夹角，则 θ 的取值范围是 ______ __________ θ=0° 或 θ=180°⇔ _____ ， ________ ⇔ a ⊥ b ∠AOB 0°≤ θ≤180° a ∥ b θ=90° 2. 向量的数量积 (1) 平面向量的数量积 ( 内积 ) 的定义： a · b =| a || b | cos < a ， b >. (2) 向量数量积的性质 ① 如果 e 是单位向量，则 a · e = e · a = __________________________ ；   ② a ⊥ b ⇔_______ ； ③ a · a = ____ ， | a |= ④cos< a ， b >= ( __________) ； ⑤| a · b |___ | a || b | . | a |cos θ(θ 是 a 与 e 的夹角 ) a · b=0 |a| 2 | a || b |≠0 ≤ (3) 数量积的运算律 ① 交换律： a · b =_____ ； ② 分配律： ( a + b ) · c =__________ ； ③ 对 λ∈R ， λ( a · b )= _________= _________. (4) 数量积的坐标运算 设 a =(a 1 ， a 2 ) ， b =(b 1 ， b 2 ) ，则 ① a · b =________ ； ② a ⊥ b ⇔__________ ； ③| a |=__________ ； ④cos< a ， b >= b · a a · c + b · c (λ a ) · b a · (λ b ) a 1 b 1 +a 2 b 2 a 1 b 1 +a 2 b 2 =0 【常用结论】 (1) 两向量 a 与 b 的夹角为锐角 ⇔ a · b >0 且 a 与 b 不共线 . (2) 两向量 a 与 b 的夹角为钝角 ⇔ a · b <0 且 a 与 b 不共线 . (3)| a |cos θ(| b |cos θ)(θ 是 a 与 b 的夹角 ) 叫做向量 a 在 b ( b 在 a ) 方向上的投影 . (4)( a ± b ) 2 = a 2 ±2 a · b + b 2 . (5)( a + b ) · ( a - b )= a 2 - b 2 . (6) a 与 b 同向时， a · b =| a || b |. (7) a 与 b 反向时， a · b =-| a || b |. 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 两个向量的夹角的范围是 . ( 　　 ) (2) 一个向量在另一个向量方向上的投影为数量 , 而不是向量 . ( 　　 ) (3) a · b >0, 则 a 与 b 的夹角为锐角 ; a · b <0, 则 a 与 b 的夹角为钝角 . ( 　　 ) (4) 两向量的数量积是一个实数 , 向量的加、减、数乘运算的运算结果是向 量 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 由两个向量夹角的定义可知 : 两个向量夹角的范围为 (2)√. 因为向量 a 在 b 方向上的投影 | a |cos θ, 它是一个实数值 . (3)×. 因为 a · b >0, 则 a 与 b 的夹角为锐角或零角 ; a · b <0, 则 a 与 b 的夹角为钝角或 平角 . (4)√. 由向量的数量积 , 向量的加法、减法、数乘运算的定义可知 , 两个向量的数 量积结果为一实数 , 两个向量的和或差结果为向量 , 向量的数乘运算结果为向量 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 对“向量 a 在 b 方向上的投影”理解不准确 考点一、 T3 2 数 —— 向量与形 —— 几何关系之间不能灵活转化 考点二、 T2 3 混淆向量平行、垂直的等价条件 考点三、角度 3 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 4P128 自测与评估 T5 改编 ) 设 a =(5,-7), b =(-6,t), 若 a · b =-2, 则 t 的 值为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　 A.-4 　　 B.4 　　　 C. 　　 D.- 【解析】 选 A. 因为 a · b =5×(-6)-7t=-2, 所以 t=-4. 2.( 必修 4P128 自测与评估 T4 改编 ) 已知 | a |=2,| b |=6, a · b =-6 , 则 a 与 b 的夹角 θ 为 ( 　　 ) 【解析】 选 D.cos θ= , 又 0≤θ≤π, 则 θ= 3.( 必修 4P108 例 1 改编 ) 已知 | a |=5,| b |=4, a 与 b 的夹角 θ=120°, 则向量 b 在向量 a 方向上的投影为 ________.  【解析】 b 在 a 方向上的投影为 | b |cos θ=4×cos 120°=-2. 答案 : -2 4.( 必修 4P115 习题 2-3AT6 改编 ) 在圆 O 中 , 长度为 的弦 AB 不经过圆心 , 则 的值为 ________.  【解析】 设向量 的夹角为 θ, 则 答案 : 1 【 核心素养】 　数学运算 —— 向量与三角变换的综合   【素养诠释】 　数学运算是根据法则、公式进行变形的正确运算 , 根据问题的条件寻找与设计合理、简洁的运算途径 , 它包括 : 分析运算条件、探究运算公式、确定运算程序 . 与向量数量积有关运算求解能力应关注以下三点 : (1) 平面向量数量积的定义及运算公式 . (2) 明确是哪两个向量的数量积 . (3) 能建立平面直角坐标系的尽量建立坐标系 . 【典例】 (2017 · 江苏高考 ) 已知向量 a =(cos x,sin x), b =(3,- ),x∈[0,π]. (1) 若 a ∥ b , 求 x 的值 . (2) 记 f(x)= a · b , 求 f(x) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值 . 【素养立意】 　 向量数量积与三角恒等变换 , 三角函数图象与性质结合 , 考查数学运算的核心素养 . 【解析】 (1) 因为 a ∥ b , 所以 3sin x=- cos x, 又 cos x≠0, 所以 tan x=- , 因为 x∈[0,π], 所以 x= . (2) 因为 x∈[0,π], 所以 x- 所以 - ≤1, 所以 -2 ≤3, 当 x- , 即 x=0 时 ,f(x) 取得最大值 , 为 3; 当 x- , 即 x= 时 ,f(x) 取得最小值为 -2 .