2021版高考数学一轮复习第五章平面向量复数5-3平面向量的数量积及应用举例课件苏教版 19页

第三节　平面向量的 数量积及应用举例 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【 教材 · 知识梳理 】 1. 向量的夹角 (1) 条件 : 平移两个非零向量 a 和 b 至同一起点 , 结论 :∠AOB=θ(0°≤θ≤180°) 叫做 a 与 b 的夹角 . (2) 范围 :0°≤θ≤180°. 特殊情况 : 当 θ=0° 时 , a 与 b _________. 当 θ=180° 时 , a 与 b _________. 当 θ=90° 时 , a 与 b _________. 共线同向 共线反向 互相垂直 2. 向量的数量积 (1) 条件 : 两个向量 a 与 b , 夹角 θ, 结论 : 数量 ____________ 叫做 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ), 记作 a · b , 即 a · b = ____________.  (2) 数量积的几何意义 条件 : a 的长度 | a |, b 在 a 的方向上的投影 ___________  ( 或 b 的长度 | b |, a 在 b 方向上的投影 ____________),  结论 : 数量积 a · b 等于 | a | 与 ___________ 的乘积 ( 或 | b |___________ 的乘积 ).  | a || b |cosθ | a || b |cosθ | b |cosθ | a |cosθ | b |cosθ 与 | a |cosθ 3. 平面向量数量积的运算律 (1) a · b = b · a ( 交换律 ). (2)λ a · b =λ( a · b )= a ·(λ b )( 结合律 ). (3)( a + b )· c = a · c + b · c ( 分配律 ). 4. 平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a =(x 1 ,y 1 ), b =(x 2 ,y 2 ),θ=< a , b >. 结论 几何表示 坐标表示 向量的模 | a |= | a |=________ 夹角余弦 cos θ= cos θ= a ⊥ b 充 要条件 a · b =__ ________=0 | a · b | 与 | a || b | 的关系 | a · b |≤| a || b | |x 1 x 2 +y 1 y 2 |≤ 0 x 1 x 2 +y 1 y 2 【 知识点辨析 】 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”) 　 (1) 两个向量的夹角的范围是 . ( 　　 ) (2) 一个向量在另一个向量方向上的投影为数量 , 而不是向量 . ( 　　 ) (3) a · b >0, 则 a 与 b 的夹角为锐角 ; a · b <0, 则 a 与 b 的夹角为钝角 . ( 　　 ) (4) 两向量的数量积是一个实数 , 向量的加、减、数乘运算的运算结果是向 量 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 由两个向量夹角的定义可知 : 两个向量夹角的范围为 (2)√. 因为向量 a 在 b 方向上的投影 | a |cos θ, 它是一个实数值 . (3)×. 因为 a · b >0, 则 a 与 b 的夹角为锐角或零角 ; a · b <0, 则 a 与 b 的夹角为钝角或 平角 . (4)√. 由向量的数量积 , 向量的加法、减法、数乘运算的定义可知 , 两个向量的数 量积结果为一实数 , 两个向量的和或差结果为向量 , 向量的数乘运算结果为向量 . 【 易错点索引 】 序号 易错警示 典题索引 1 对“向量 a 在 b 方向上的投影”理解不准确 考点一、 T3 2 数 —— 向量与形 —— 几何关系之间不能灵活转化 考点二、 T2 3 混淆向量平行、垂直的等价条件 考点三、角度 3 【 教材 · 基础自测 】 1.( 必修 4P89 习题 2.4T15 改编 ) 设 a =(5,-7), b =(-6,t), 若 a · b =-2, 则 t 的值为 ( 　 ) 　　　　　　　　　　　　　 A.-4 　　 B.4 　　　 C. 　　 D.- 【 解析 】 选 A. 因为 a · b =5×(-6)-7t=-2, 所以 t=-4. 2.( 必修 4P89 习题 2.4T4 改编 ) 已知 | a |=2,| b |=6, a · b =-6 , 则 a 与 b 的夹角 θ 为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D.cos θ= , 又 0≤θ≤π, 则 θ= 3.( 必修 4P85 练习 T8 改编 ) 设 a , b 是非零向量 ,“ a · b =| a || b |” 是“ a ∥ b ” 的 ( 　　 ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 A. 设 a 与 b 的夹角为 θ. 因为 a · b =| a |·| b |cos θ=| a |·| b |, 所以 cos θ=1, 即 a 与 b 的夹角为 0°, 所以 a ∥ b . 当 a ∥ b 时 , a 与 b 的夹角为 0° 或 180°, 所以 a · b =| a |·| b |cos θ=±| a |·| b |, 所以“ a · b =| a || b |” 是“ a ∥ b ” 的充分而不必要条件 . 4.( 必修 4P85 练习 T5 改编 ) 已知 | a |=5,| b |=4, a 与 b 的夹角 θ=120°, 则向量 b 在向量 a 方向上的投影为 ________.  【 解析 】 b 在 a 方向上的投影为 | b |cos θ=4×cos 120°=-2. 答案 : -2 5.( 必修 4P89 习题 2.4T13 改编 ) 在圆 O 中 , 长度为 的弦 AB 不经过圆心 , 则 的值为 ________.  【 解析 】 设向量 的夹角为 θ, 则 答案 : 1 【 核心素养 】 　数学运算 —— 向量与三角变换的综合  【 素养诠释 】 　数学运算是根据法则、公式进行变形的正确运算 , 根据问题的条件寻找与设计合理、简洁的运算途径 , 它包括 : 分析运算条件、探究运算公式、确定运算程序 . 与向量数量积有关运算求解能力应关注以下三点 : (1) 平面向量数量积的定义及运算公式 . (2) 明确是哪两个向量的数量积 . (3) 能建立平面直角坐标系的尽量建立坐标系 . 【 典例 】 (2017· 江苏高考 ) 已知向量 a =(cos x,sin x), b =(3,- ),x∈[0,π]. (1) 若 a ∥ b , 求 x 的值 . (2) 记 f(x)= a · b , 求 f(x) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值 . 【 素养立意 】 　 向量数量积与三角恒等变换 , 三角函数图象与性质结合 , 考查数学运算的核心素养 . 【 解析 】 (1) 因为 a ∥ b , 所以 3sin x=- cos x, 又 cos x≠0, 所以 tan x=- , 因为 x∈[0,π], 所以 x= . (2) 因为 x∈[0,π], 所以 x- 所以 - ≤1, 所以 -2 ≤3, 当 x- , 即 x=0 时 ,f(x) 取得最大值 , 为 3; 当 x- , 即 x= 时 ,f(x) 取得最小值为 -2 .