山东专用2021版高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第9讲离散型随机变量的均值与方差正态分布课件 73页

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第九讲　离散型随机变量的均值与 方差、正态分布 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x i p i ＋ … ＋ x n p n 　 标准差　 知识点二　均值与方差的性质 (1) E ( aX ＋ b ) ＝ __ __ _ _ ___ _ __ ． (2) D ( aX ＋ b ) ＝ __ __ _ _ ___ ． 知识点三　两点分布与二项分布的期望与方差 (1) 若 X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ __ _ __ ， D ( X ) ＝ __ _ ____ _ ___ ． (2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ __ __ __ ， D ( X ) ＝ __ __ ____ _ ___ ． aE ( X ) ＋ b 　 a 2 D ( X ) 　 p 　 p (1 － p ) 　 np 　 np (1 － p ) 　 X ～ N ( μ ， σ 2 ) 　 上方　 x ＝ μ 　 x ＝ μ 　 1 　 集中　 分散　 (3) 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： ① P ( μ － σ ＜ X ≤ μ ＋ σ ) ＝ _____________ ； ② P ( μ － 2 σ ＜ X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ _____________ ； ③ P ( μ － 3 σ ＜ X ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ _____________ ． 0.682 6 　 0.954 4 　 0.997 4 　 计算均值与方差的基本方法 (1) 已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求； (2) 已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 Y ＝ aX ＋ b 的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求； (3) 如能分析所给随机变量服从常用的分布 ( 如两点分布、二项分布等 ) ，则可直接利用它们的均值、方差公式来求． ABC A 　 3 ． (P 75 B 组 T2 改编 ) 设随机变量 ξ 服从正态分布 N (4,3) ，若 P ( ξ < a － 5) ＝ P ( ξ > a ＋ 1) ，则实数 a 等于 ( 　　 ) A ． 7 B ． 6 C ． 5 D ． 4 B 　 题组三　考题再现 4 ． (2019 · 南通模拟 ) 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3,1) ，且 P ( X ≥4) ＝ 0.158 7 ，则 P (2< X <4) ＝ ( 　　 ) A ． 0.682 6 B ． 0.341 3 C ． 0.460 3 D ． 0.920 7 [ 解析 ] 　 ∵ 随机变量 X 服从正态分布 N (3,1) ， ∴ 正态曲线的对称轴是直线 x ＝ 3 ， ∵ P ( X ≥ 4) ＝ 0.158 7 ， ∴ P (2< X <4) ＝ 1 － 2 P ( X ≥ 4) ＝ 1 － 0.317 4 ＝ 0.682 6. 故选 A ． A 　 5 ． (2017 · 全国 Ⅱ ) 一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， X 表示抽到的二等品件数，则 D ( X ) ＝ _________ ． [ 解析 ] 　 由题意得 X ～ B (100,0.02) ， ∴ D ( X ) ＝ 100 × 0.02 × 0.98 ＝ 1.96 ． 1.96 　 考点突破 • 互动探究 　　　　 (1) (2018 · 课标 Ⅲ ， 8) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立．设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， D ( X ) ＝ 2.4 ， P ( X ＝ 4)< P ( X ＝ 6) ，则 p ＝ ( 　　 ) A ． 0.7 B ． 0.6 C ． 0.4 D ． 0.3 考点一　离散型随机变量的均值与方差的概念与性质 —— 自主练透 B 　 例 1 B 　 D 　 若 X 是随机变量，则 Y ＝ f ( X ) 一般仍是随机变量，在求 Y 的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求 Y 的分布列带来的烦琐运算． 〔 变式训练 1 〕 (2019 · 辽宁省丹东质量测试 ) 某种种子每粒发芽的概率都为 0.85 ，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X ，则 X 的数学期望 E ( X ) ＝ _______ ． [ 解析 ] 　 设没有发芽的种子数为 Y ，则有 X ＝ 2 Y ， 由题意可知 Y 服从二项分布，即 Y ～ B (1 000,0.15) ， E ( Y ) ＝ 1 000 × 0.15 ＝ 150 ， E ( X ) ＝ 2 E ( Y ) ＝ 300 ． 300 　 角度 1 　二项分布的均值、方差问题 　　　　 (2019 · 沈阳模拟 ) 某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于 80 小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取 200 名参加这种技能培训的数据，按时间段 [75,80) ， [80,85) ， [85,90) ， [90,95) ， [95,100]( 单位：小时 ) 进行统计，其频率分布直方图如图所示． 考点二　求离散型随机变量的均值与方差 —— 多维探究 例 2 (1) 求抽取的 200 名职工中，参加这种技能培训时间不少于 90 小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于 90 小时的概率； (2) 从招聘职工 ( 人数很多 ) 中任意选取 3 人，记 X 为这 3 名职工中参加这种技能培训时间不少于 90 小时的人数，试求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) 和方差 D ( X ) ． 例 3 (1) 求离散型随机变量 ξ 的均值与方差的步骤 ①理解 ξ 的意义，写出 ξ 可能的全部取值；②求 ξ 取每个值的概率；③写出 ξ 的分布列；④由均值的定义求 E ( ξ ) ；⑤由方差的定义求 D ( ξ ) ． (2) 二项分布的期望与方差 如果 ξ ～ B ( n ， p ) ，则用公式 E ( ξ ) ＝ np ， D ( ξ ) ＝ np (1 － p ) 求解，可大大减少计算量． 〔 变式训练 2 〕 (1) ( 角度 2) (2019 · 包头模拟 ) 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． ①若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8 ，从中任意取出 4 件进行检验，求至少有 1 件是合格品的概率； ②若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定商家从这 20 件产品中任取 2 件，进行检验，只有 2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数 ξ 的分布列及数学期望 E ( ξ ) ，并求该商家拒收这批产品的概率． (2) ( 角度 1) (2020 · 甘肃天水一中模拟 ) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． ①求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； ②若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望． 　　　　 (2019 · 广东揭阳模拟 ) 某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，下图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量 K ( 单位：万立方米 ) 的频率分布直方图 ( 不完整 ) ，已知 X ∈[0,120] ，历年中日泄流量在区间 [30,60) 的年平均天数为 156 ，一年按 364 天计． 考点三　均值与方差在决策中的应用 —— 师生共研 例 4 (1) 请把频率分布直方图补充完整； (2) 该水电站希望安装的发电机尽可能都运行，但每 30 万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如 60≤ X <90 时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为 4 000 元；若不运行，则该台发电机每天亏损 500 元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？ 利用均值与方差解决实际问题的方法 (1) 对实际问题进行具体分析，将实际问题转化为数学问题，并将问题中的随机变量设出来． (2) 依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件，求出其相应的概率． (3) 依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值． (4) 依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释． 〔 变式训练 3 〕 (2020 · 广东化州模拟 ) 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (1) 若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2) 商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 　　　　 (1) (2019 · 四川遂宁一诊 ) 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，若 P ( ξ <2) ＝ P ( ξ >6) ＝ 0.15 ，则 P (2≤ ξ <4) ＝ ( 　　 ) A ． 0.3 B ． 0.35 C ． 0.5 D ． 0.7 (2) (2020 · 山东新高考质量测评联盟联考 ) 在 2019 年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩 X ～ N (86 ， σ 2 ) ，若已知 P (80< X ≤86) ＝ 0.36 ，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于 92 分的概率为 ( 　　 ) A ． 0.86 B ． 0.64 C ． 0.36 D ． 0.14 B 　 例 5 考点四　正态分布 —— 自主练透 D 　 [ 解析 ] 　 (1) 由 P ( ξ <2) ＝ P ( ξ >6) 知， μ ＝ 4 ， ∴ P (2 ≤ ξ <4) ＝ 0.5 － P ( ξ <2) ＝ 0.5 － 0.15 ＝ 0.35. 故选 B ． (2) 由题意 P (86< x ≤ 92) ＝ P (80< x ≤ 86) ＝ 0.36 ， ∴ P ( X >92) ＝ 0.5 － 0.36 ＝ 0.14 ，故选 D ． [ 引申 ] 本例 (2) 中若有 1 000 名学生参加测试，则测试成绩在 80 分以上的人数为 _______ ． [ 解析 ] 　 1 000 × P ( X >80) ＝ 1 000 × [1 － (0.5 － 0.36)] ＝ 860 ． 860 　 〔 变式训练 4 〕 (1) (2020 · 山东潍坊期末 ) 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (1 ， σ 2 ) ，且 P ( ξ <4) ＝ 0.9 ，则 P ( － 2< ξ <1) ＝ ( 　　 ) A ． 0.2 B ． 0.3 C ． 0.4 D ． 0.6 (2) (2019 · 云南昆明质检 ) 某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩 X 近似服从正态分布 N (84 ， σ 2 ) ，且 P (78< X ≤84) ＝ 0.3 ，该市某校有 400 人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于 90 分的人数为 ( 　　 ) A ． 60 B ． 80 C ． 100 D ． 120 C B 　 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1) 熟记 P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ， P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ， P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) 的值； (2) 充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. ① 正态曲线关于直线 x ＝ μ 对称，从而在关于 x ＝ μ 对称的区间上概率相等； ② P ( X < a ) ＝ 1 － P ( X ≥ a ) ， P ( X < μ － a ) ＝ P ( X ≥ μ ＋ a ) ． 名师讲坛 • 素养提升 (2020 · 广西柳州铁路一中、玉林一中联考 ) 从某公司生产线生产的某种产品中抽取 1 000 件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图： 正态分布的实际应用问题 例 6 解决正态分布问题的三个关键点 若随机变量 ξ ～ N ( μ ， σ 2 ) ，则 (1) 对称轴 x ＝ μ ； (2) 标准差 σ ； (3) 分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由 μ ， σ ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3 σ 特殊区间，从而求出所求概率 〔 变式训练 4〕 (2017 · 全国卷 Ⅰ ) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸 ( 单位： cm) ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ． (1) 假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥1) 及 X 的数学期望； (2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．