辽宁省丹东市2020届高三上学期期末教学质量监测 数学（理）试题 9页

丹东市2019~2020学年度上学期期末教学质量监测 高三理科数学 本试卷共22题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{ x|x－2＜0}，则A∩B＝‎ A．(－1，2)‎ B．(2，3)‎ C．(－3，－1)‎ D．(－∞，2)‎ ‎2．复数z＝的模|z|＝‎ A．1‎ B． C．2‎ D． ‎3．某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元．‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1月月 ‎2月月 ‎3月月 ‎4月月 ‎5月月 ‎6月月 ‎7月月 ‎8月月 ‎9月月 ‎10月月 ‎11月月 ‎12月月 P产品的销售额/万元 Q产品的销售额/万元 A B 根据图中信息，下面统计结论错误的是 A．P产品的销售额极差较大 B．P产品销售额的中位数较大 C．Q产品的销售额平均值较大 D．Q产品的销售额波动较小 ‎4．(1＋2x2 )(1＋x)4的展开式中x3的系数为 A．12‎ B．16‎ C．20‎ D．24‎ ‎5．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝‎1.50.6‎，则a，b，c的大小关系是 A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a ‎6．若sinα＝2cosα，则cos2α＋sin2α＝‎ A． B． C．1‎ D． ‎7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为 A． B． C． D． ‎8．设α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列命题错误的是 A．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．‎ B．如果α∥β，mα，那么m∥β．‎ C．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．‎ D．如果α内有两条相交直线与β平行，那么α∥β． ‎ ‎9．甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以3:1获胜的概率为 A． B． C． D． ‎10．下列函数中，其图象与函数y＝lg x的图象关于点(1，0)对称的是 A．y＝lg(1－x)‎ B．y＝lg(2－x)‎ C．y＝log0.1(1－x)‎ D．y＝log0.1(2－x)‎ ‎11．关于函数f (x)＝|sinx|＋sin|x|有下述四个结论：‎ ‎①f (x)是偶函数 ②f (x)在区间(－，0)单调递减 ‎③f (x)在[－π，π]有4个零点 ④f (x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①③④ D．①④‎ ‎12．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，若|AB|＝8，则p＝‎ A． B．1‎ C．2‎ D．4‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知函数f (x)在R单调递减，且为奇函数，则满足f (x＋1)＋f (x－3)＜0的x的取值范围为 ．‎ ‎14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，‎ 则A＝ ． ‎ ‎15．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点，若|PQ|＝|OF|，则C的渐近线方程为 ．‎ ‎16．已知正三棱柱ABC－A1B‎1C1的六个顶点都在球O的表面上，AB＝3，异面直线AC1与BC所成角的余弦值为，则AA1＝ ，球O的表面积为 ．‎ ‎（本题第一空2分，第二空3分）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1， an＋1＝Sn·Sn＋1．‎ ‎（1）证明：数列{}是等差数列；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎18．（12分）‎ 需求量X(t)‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎0.030‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎1400000000‎ ‎1500000000‎ ‎0.025‎ 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．‎ 经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．‎ ‎（1）将T表示为X的函数；‎ ‎（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；‎ ‎（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率，例如：若X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110）的概率．求利润T的数学期望．‎ ‎19．（12分）‎ 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．‎ ‎（1）证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎（2）若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）‎ 已知圆O1：x2＋y2－2x－7＝0，动圆O2过定点F(－1，0)且与圆O1相切，圆心O2的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设斜率为1的直线l交C于M， N两点，交y轴于D点，y轴交C于A，B两点，若|DM|·|DN|＝λ|DA|·|DB|，求实数λ的值．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数f (x)＝ ‎ ‎（1）讨论函数f (x)的单调性；‎ ‎（2）证明：在(1，＋¥)上存在唯一的x0，使得曲线y＝lnx在x＝x0处的切线l也是曲线y＝ex的切线．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2 θ＝2cos θ，‎ ‎（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知a＞0，b＞0．‎ ‎（1）证明：a3＋b3≥a2b＋ab2；‎ ‎（2）若a＋b＝2，求a3＋b3的最小值．‎ 丹东市2019~2020学年度上学期期末教学质量监测 高三理科数学答案与评分参考 一、选择题 ‎1．A ‎2．D ‎3．B ‎4．A ‎5．C ‎6．C ‎7．B ‎8．C ‎9．A ‎10．D ‎11．A ‎12．C 二、填空题 ‎13．(1，＋∞)‎ ‎14． ‎15．y＝±x ‎ ‎16．4，28π 三、解答题：‎ ‎17．解：‎ ‎（1）因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋1－Sn＝Sn·Sn＋1．‎ 两边同除以Sn·Sn＋1得－＝－1．‎ 因为a1＝－1，所以＝－1．‎ 因此数列{}是首项为－1，公差为－1的等差数列．‎ ‎【以上教育部考试中心《试题分析》解法】‎ ‎ ……………（6分）‎ ‎（2）由（1）得＝－1＋(n－1)(－1) ＝－n，Sn＝－．‎ 当n≥2时，an＝Sn－1·Sn＝．‎ 于是an＝ ‎ ……………（12分）‎ ‎18．解：【教育部考试中心《试题分析》解法】‎ ‎（1）当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000．‎ 当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000．‎ 所以T＝ ‎ ……………（4分）‎ ‎（2）由（1）知T≥57000元当且仅当120≤X≤150．‎ 由直方图知X∈[120，150]的频率为0.3＋0.25＋0.15＝0.7，所以下一个销售季度内利润T不少于57000元的概率估计值为0.7．‎ ‎ ……………（8分）‎ ‎（3）依题意可得T的分布列为 T ‎45000‎ ‎53000‎ ‎61000‎ ‎65000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以ET＝4500×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400．‎ ‎ ……………（12分）‎ ‎19．解法1：【教育部考试中心《试题分析》解法1】‎ ‎（1）因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝2．‎ 连结OB．因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2．‎ 由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB．‎ 由PO⊥AC， PO⊥OB知PO⊥平面ABC．‎ ‎ …………（4分）‎ P A B M C O D E ‎（2）过C作平面PAM的垂线，垂足为E．‎ 在平面PAM内过E作ED⊥PA，垂足为D，连接CD，，则PA⊥平面CDE，于是CD⊥PA．‎ 所以∠CDE是二面角M－PA－C的平面角．‎ 因为二面角M－PA－C为30°，所以∠CDE＝30°．‎ 在正三角形PAC中，CD＝2，所以CE＝＝．‎ 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为＝．‎ ‎ …………（12分）‎ 解法2：【教育部考试中心《试题分析》解法2】‎ ‎（1）同解法1‎ P A B M C O E D ‎（2）在平面ABC内作MD⊥AC，垂足为D，连接OB．‎ 由（1）知PO⊥平面ABC，故PO⊥OB．‎ 又AC⊥OB，所以OB⊥平面PAC，从而MD⊥平面PAC．‎ 在平面PAC内作DE⊥PA，垂足为E，连接ME．‎ 由DE⊥PA，MD⊥PA，得ME⊥PA．‎ 从而∠DEM是二面角M－PA－C的平面角．‎ 因为二面角M－PA－C为30°，所以∠DEM＝30°，于是 DC＝DM＝DE，DE＝AD＝(4－DC) ．‎ 解得DC＝，AD＝．从而△PAM面积为＝××2×＝．‎ 设点C到平面PAM距离为d，用两种方法计算三棱锥C－PAM的体积得 ××4××2＝××d，解得d＝．‎ 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为＝．‎ ‎ …………（12分）‎ 解法3：【教育部考试中心《试题分析》解法3】‎ ‎（1）同解法1‎ ‎（2）如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz．‎ 由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(0，2，2)．‎ 取平面PAC的法向量为＝(2，0，0)．‎ 设M(a，2－a，0)( 0＜a≤2)，则＝(a，4－a，0)．‎ 设平面PAM的法向量为n＝(x， y，z)．‎ 由·n＝0，·n＝0得，可取n＝((a－4)，a，－a)，‎ 所以cos＜，n ＞＝．‎ 由已知得|cos＜，n ＞|＝，所以＝，解得a＝－4（舍去），a＝，所以n＝(－，，－)．‎ 又＝(0，2，－2)，所以cos＜，n ＞＝．‎ 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为．‎ ‎ …………（12分）‎ ‎20．解：‎ ‎（1）圆O1的圆心为(1，0)，半径为2，点F在圆O1内，故圆O2与圆O1相内切．‎ 设圆O2的半径为r，则|O‎2F|＝r，| O2O1|＝2－r，从而| O2O1|＋|O‎2F|＝2．‎ 因为|FF ′|＝2＜2，所以曲线C是以点F (－1，0)，F ′(1，0)为焦点的椭圆．‎ 由a＝，c＝1，得b＝1，故C的方程为＋y2＝1．‎ ‎ …………（6分）‎ ‎（2）设l：y＝x＋t，M(x1，y1)， N(x2，y2)，则D(0，t)，‎ ‎|DM|＝＝| x1|， |DN|＝＝| x2|．‎ y＝x＋t与＋y2＝1联立得3x2＋4tx＋2t2－2＝0．‎ 当△＝8(3－t2)≥0时，即－≤t≤时， x1x2＝－．‎ ‎ …………（8分）‎ 所以|DM|·|DN|＝2|x1x2|＝．‎ 由（1）得A(0，－1)，A(0，1)，所以|DA|·|DB|＝| t＋1|·| t－1|＝| t2－1|．‎ 等式|DM|·|DN|＝λ|DA|·|DB|可化为＝λ| t2－1|．‎ 当－≤t≤且t≠±1时，λ＝．‎ 当t＝±1时，λ可以取任意实数．‎ 综上，实数λ的值为．‎ ‎ …………（12分）‎ ‎21．解：‎ ‎（1）f (x)定义域为(0，1) ∪(1，＋¥)，f ′(x)＝＞0．‎ 因此f (x)在(0，1)单调递增，在(1，＋¥)单调递增．‎ ‎ ……………（4分）‎ ‎（2）曲线在y＝lnx在x＝x0处切线l的方程为y＝x＋lnx0－1．‎ ‎ ……………（6分）‎ 设l与曲线y＝ex相切于点(x1，e)，则 消去x1得，即f (x0)＝0．‎ 于是当且仅当x0是f (x)的零点时，l是曲线y＝ex的切线．‎ 因为f (e)＝，f (e2)＝，f (x)在(1，＋¥)单调递增，所以f (x)在(1，＋¥)上存在唯一零点．‎ 所以在(1，＋¥)上存在唯一的x0，使得曲线y＝lnx在x＝x0处的切线l也是曲线y＝ex的切线．‎ ‎ ……………（12分）‎ ‎22．解：‎ ‎（1）因为l的倾斜角为α，l过点M(－2，－4)，所以直线l的参数方程是 (t是参数)．‎ 因为ρsin2 θ＝2cos θ，所以ρ2sin2 θ＝2ρcos θ，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y得曲线C的直角坐标方程是y2＝2x．‎ ‎ …………（5分）‎ ‎（2）把l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2 α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0．‎ 当Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2 α时，设A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则|MA|·|MB|＝|t1t2|＝．‎ 由＝4 0，0≤α＜π，Δ＞0，得α＝．‎ ‎ …………（10分）‎ ‎23．解：‎ ‎（1）a3＋b3－a2b－ab2＝a2 (a－b)＋b2 (b－a)‎ ‎＝(a－b)(a2－b2)‎ ‎＝(a－b)2(a＋b)．‎ 因为a＞0，b＞0，所以(a＋b)＞0，而(a－b)2≥0，所以(a－b)2(a＋b)≥0．‎ 于是a3＋b3≥a2b＋ab2．‎ ‎ …………（5分）‎ ‎（2）因为a＋b＝2，所以 a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)‎ ‎＝2(a2－ab＋b2)‎ ‎＝2[(a＋b)2－3ab]‎ ‎＝8－6ab．‎ 因为ab≤()2＝1，当且仅当a＝b＝1等号成立，所以8－6ab≥2．‎ 故当a＝b＝1时，a3＋b3取最小值2．‎ ‎ …………（10分）‎