高考数学专题复习练习第四章 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例 课下练兵场 5页

第四章 第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 两平面向量的夹角 ‎11‎ 求平面向量的模 ‎4‎ ‎5、7‎ 两平面向量的 垂直与平行 ‎1、6‎ ‎10‎ 向量的数量积 ‎2、3‎ ‎8、9‎ ‎12‎ 一、选择题 ‎1.已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π).若|a·b|＝|a|·|b|，则tanx的值等于(　　)‎ A.1　　　　　　B.－‎1 C. D. 解析：由|a·b|＝|a|·|b|知，a∥b.‎ 所以sin2x＝2sin2x，‎ 即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，‎ 即x＝，故tanx＝1.‎ 答案：A ‎2.在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于 (　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析：·(＋)＝·2＝×2×cosπ＝－.‎ 答案：A ‎3.设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为 (　　)‎ A.－2 B.－‎2 C.－1 D.1－ 解析：(a－c)·(b－c)＝a·b－c·(a＋b)＋c2‎ ‎＝0－|c|·|a＋b|·cos〈c，(a＋b)〉＋1‎ ‎≥0－|c||a＋b|＋1＝－＋1‎ ‎＝－＋1＝－＋1‎ ‎＝－＋1.‎ 答案：D ‎4.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 (　　)‎ A.6 B‎.2 C.2 D.2 解析：因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos60°＝4＋16＋8＝28，∴|F3|＝2.‎ 答案：D ‎5.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|‎2a－b|的最大、小值分别是 (　　)‎ A.4，0 B.4,‎2 ‎ C.16,0 D.4,0‎ 解析：由于|‎2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－‎4a·b＝8－4(cosθ－sinθ)＝8－8cos(θ＋)，易知0≤8－8cos(θ＋)≤16，故|‎2a－b|的最大值和最小值分别为4和0.‎ 答案：D ‎6.在△ABC中，(＋)·＝| |2，则三角形ABC的形状一定是 (　　)‎ ‎ A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：由 ‎ ∴∴ ，∴∠A=90°.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为　　　　.‎ 解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，‎ ‎∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y).∵(a＋b)⊥(b－c)，‎ ‎∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，‎ 故向量＝(－8,8)，| |＝8.‎ 答案：8 ‎8.若平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，| |＝5，则·＋· ＋·的值等于　　　　.‎ 解析：由++=0可得=0，‎ ‎∴9+16+25+2‎ 答案：－25‎ ‎9.关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：‎ ‎①若a·b＝a·c，则b＝c.‎ ‎②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.‎ ‎③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.‎ 其中真命题的序号为　　　　(写出所有真命题的序号).‎ 解析：命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得1×6＋2k＝0，k＝－3，故命题②正确.由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题③错误.‎ 答案：②‎ 三、解答题 ‎10.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2).‎ ‎(1)设c＝‎4a＋b，求(b·c)a；‎ ‎(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；‎ ‎(3)求向量a在b方向上的投影.‎ 解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，‎ ‎∴c＝‎4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6).‎ ‎∴b·c＝2×6－2×6＝0，‎ ‎∴(b·c)a＝‎0a＝0.‎ ‎(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，‎ 由于a＋λb与a垂直，‎ ‎∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.‎ ‎(3)设向量a与b的夹角为θ，‎ 向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.‎ ‎∴|a|cosθ＝＝ ‎＝－＝－.‎ ‎11.在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cosA，sinA)，向量n＝(－sinA，cosA)，若|m＋n|＝2.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若b＝4，且c＝a，求△ABC的面积.‎ 解：∵(1)|m＋n|2‎ ‎＝(cosA＋－sinA)2＋(sinA＋cosA)2‎ ‎＝4＋2(cosA－sinA)＝4＋4cos(＋A)，‎ ‎∴4＋4cos(＋A)＝4，∴cos(＋A)＝0，‎ ‎∵A∈(0，π)，∴＋A＝，∴A＝.‎ ‎(2)由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 即a2＝(4)2＋(a)2－2×4×acos，‎ 解得a＝4，∴c＝8，‎ ‎∴S△ABC＝bcsinA＝×4×8×＝16.‎ ‎12.(2010·长沙模拟)已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2).‎ ‎(1)若m·n＝1，求cos(－x)的值；‎ ‎(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(‎2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围.‎ 解：(1)∵m·n＝1，即sincos＋cos2＝1，‎ 即sin＋cos＋＝1，‎ ‎∴sin(＋)＝.‎ ‎∴cos(－x)＝cos(x－)＝－cos(x＋)‎ ‎＝－[1－2sin2(＋)]‎ ‎＝2·()2－1＝－.‎ ‎(2)∵(‎2a－c)cosB＝bcosC，‎ 由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.‎ ‎∴2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，‎ ‎∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，‎ ‎∵A＋B＋C＝π，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，‎ ‎∴cosB＝，B＝，‎ ‎∴0＜A＜.‎ ‎∴＜＋＜，＜sin(＋)＜1.‎ 又∵f(x)＝m·n＝sin(＋)＋，‎ ‎∴f(A)＝sin(＋)＋.‎ 故函数f(A)的取值范围是(1，).‎