高考数学专题复习练习：9_1　直线的方程 15页

‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．‎ ‎2．斜率公式 ‎(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α.‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　√　)‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　×　)‎ ‎(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　×　)‎ ‎(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　)‎ ‎(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　)‎ ‎(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　√　)‎ ‎1．(2016·天津模拟)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)‎ A．1 B．4‎ C．1或3 D．1或4‎ 答案　A 解析　依题意得＝1，解得m＝1.‎ ‎2．(2016·合肥一六八中学检测)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A．[0，] B．[，π)‎ C．[0，]∪(，π) D．[，)∪[，π)‎ 答案　B 解析　由直线方程可得该直线的斜率为－，‎ 又－1≤－<0，‎ 所以倾斜角的取值范围是[，π)．‎ ‎3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．‎ ‎4．(教材改编)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝ .‎ 答案　1或－2‎ 解析　令x＝0，得直线l在y轴上的截距为2＋a；‎ 令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋，‎ 依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.‎ ‎5．过点A(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ．‎ 答案　3x＋2y＝0或x－y－5＝0‎ 解析　①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为－＝1，即x－y＝a，将点A(2，－3)代入，得a＝5，即直线方程为x－y－5＝0.故所求直线的方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.‎ 题型一　直线的倾斜角与斜率 例1　(1)(2016·北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ．‎ 答案　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ 解析　(1)当<α<π时，k<0；‎ 当k>时，<α<.‎ 所以“α>”是“k>”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎ (2)如图，‎ ‎∵kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，‎ ‎∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．‎ 引申探究 ‎1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．‎ 解　∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，‎ ‎∴kAP＝＝，‎ kBP＝＝.‎ 如图可知，直线l斜率的取值范围为.‎ ‎2．若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．‎ 解　如图，直线PA的倾斜角为45°，‎ 直线PB的倾斜角为135°，‎ 由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．‎ 思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．‎ ‎　(2017·南昌月考)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　　)‎ A．150° B．135° C．120° D．不存在 答案　A 解析　由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示．‎ 显然直线l的斜率存在，‎ 设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝，‎ 弦长|AB|＝2＝2，‎ 所以S△AOB＝××2 ‎≤＝1，‎ 当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，‎ 由图可得k＝－(k＝舍去)，故直线l的倾斜角为150°.‎ 题型二　求直线的方程 例2　根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.‎ 解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4)．‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.‎ 若a＝0，即l过点(0,0)及(4,1)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(4,1)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，‎ ‎∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；‎ 当斜率存在时，设其为k，‎ 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋(10－5k)＝0.‎ 由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 思维升华　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．‎ ‎　求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；‎ ‎(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.‎ 解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，‎ 若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(3,2)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，‎ 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.‎ 解方程组 求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，‎ 即x＝1为所求．‎ 设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为 y＋1＝k(x－1)，‎ 解方程组 得两直线交点为(k≠－2，否则与已知直线平行)，‎ 则B点坐标为(，)．‎ ‎∴(－1)2＋(＋1)2＝52，‎ 解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，‎ 即3x＋4y＋1＝0.‎ 综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.‎ 题型三　直线方程的综合应用 命题点1　与基本不等式相结合求最值问题 例3　已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．‎ 解　方法一　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，‎ 把点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，‎ 从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.‎ 方法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.‎ 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，‎ 且有A，B(0,2－3k)，‎ ‎∴S△ABO＝(2－3k) ‎＝≥ ‎＝×(12＋12)＝12.‎ 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.‎ 命题点2　由直线方程解决参数问题 例4　已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．‎ 解　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，面积最小．‎ 思维升华　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．‎ ‎(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．‎ ‎(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．‎ ‎　(2016·潍坊模拟)直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求直线l的方程．‎ 解　依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，‎ 设直线l的斜率为k，‎ 则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．‎ 令y＝0，可得A(1－，0)；‎ 令x＝0，可得B(0,4－k)．‎ ‎|OA|＋|OB|＝(1－)＋(4－k)‎ ‎＝5－(k＋)‎ ‎＝5＋(－k＋)≥5＋4＝9.‎ ‎∴当且仅当－k＝且k<0，‎ 即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．‎ 这时直线l的方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎11．求与截距有关的直线方程 典例　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.‎ 错解展示 现场纠错 解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.‎ 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.‎ ‎∴＝a－2，即a＋1＝1.‎ ‎∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.‎ 综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)由＝－(a－2)得a－2＝0或a＋1＝－1，‎ ‎∴a＝2或a＝－2.‎ 纠错心得　在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.‎ ‎1．(2016·北京顺义区检测)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．－6－2‎ 答案　A 解析　解方程组得 因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，‎ 所以k＋6>0且k＋2<0，所以－6x0＋2，则的取值范围为(　　)‎ A．(－，－) B．(－∞，－]‎ C．(－，－] D．(－，0)‎ 答案　A 解析　设A(x1，y1)，＝k，则y0＝kx0，‎ ‎∵AB的中点为P(x0，y0)，∴B(2x0－x1,2y0－y1)．‎ ‎∵A，B分别在直线x＋2y－1＝0和x＋2y＋3＝0上，‎ ‎∴x1＋2y1－1＝0,2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0，‎ ‎∴2x0＋4y0＋2＝0，即x0＋2y0＋1＝0.‎ ‎∵y0＝kx0，∴x0＋2kx0＋1＝0，即x0＝－.‎ 又y0>x0＋2，∴kx0>x0＋2，即(k－1)x0>2，‎ 即(k－1)(－)>2，即<0，‎ 解得－0，bc<0‎ B．ab>0，bc>0‎ C．ab<0，bc>0‎ D．ab<0，bc<0‎ 答案　A 解析　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，‎ 所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.‎ 易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.‎ ‎6.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　)‎ A．k1＜k2＜k3‎ B．k3＜k1＜k2‎ C．k3＜k2＜k1‎ D．k1＜k3＜k2‎ 答案　D 解析　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.‎ ‎7．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 ．‎ 答案　3‎ 解析　直线AB的方程为＋＝1，‎ ‎∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，‎ ‎∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)‎ ‎＝[－(y－2)2＋4]≤3.‎ 即当P点坐标为时，xy取最大值3.‎ ‎8．(2016·潍坊模拟)直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为 ．‎ 答案　x＋y＝0或x－y＋4＝0‎ 解析　若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，‎ 直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.‎ 若a≠0，b≠0，则直线l的方程为＋＝1，‎ 由题意知解得 此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.‎ ‎9．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是 ．‎ 答案　[－2,2]‎ 解析　b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，‎ 如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．‎ ‎∴b的取值范围是[－2,2]．‎ ‎10．(2016·山师大附中模拟)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为 ．‎ 答案　4‎ 解析　∵函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)．‎ ‎∴把A(1,1)代入直线方程得m＋n＝1(mn>0)．‎ ‎∴＋＝(＋)·(m＋n)＝2＋＋≥4‎ ‎(当且仅当m＝n＝时取等号)，‎ ‎∴＋的最小值为4.‎ ‎11．(2016·太原模拟)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．‎ ‎(1)求直线AB的方程；‎ ‎(2)已知实数m∈[－－1，－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．‎ 解　(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，‎ 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．‎ 即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.‎ ‎(2)①当m＝－1时，α＝；‎ ‎②当m≠－1时，m＋1∈[－，0)∪(0，]，‎ ‎∴k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，‎ ‎∴α∈[，)∪(，]．‎ 综合①②知，直线AB的倾斜角α∈[，]．‎ ‎12．已知点P(2，－1)．‎ ‎(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；‎ ‎(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？‎ ‎(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，‎ 此时直线l的斜率不存在，其方程为x＝2.‎ 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，‎ 即kx－y－2k－1＝0.‎ 由已知得＝2，‎ 解得k＝.‎ 此时l的方程为3x－4y－10＝0.‎ 综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.‎ ‎ (2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示．‎ 由l⊥OP，得klkOP＝－1，‎ 所以kl＝－＝2.‎ 由直线方程的点斜式，‎ 得y＋1＝2(x－2)，‎ 即2x－y－5＝0.‎ 所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.‎ ‎(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．‎ ‎*13.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．‎ 解　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，‎ kOB＝tan(180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在直线y＝x上，且A、P、B三点共线得 解得m＝，所以A(，)．‎ 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎