高考数学专题复习练习：第十二章 12_3几何概型 15页

　　　 1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率 模型为几何概率模型，简称为几何概型． 2．几何概型中，事件 A 的概率的计算公式 P(A)＝ 构成事件 A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 3．几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似 值的方法就是模拟方法． (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或 计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机 数的个数 M 和总的随机数个数 N；③计算频率 fn(A)＝M N作为所求概率的近似值． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　√　) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每 一点被取到的机会相等．(　√　) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　√　) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　√　) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　×　) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到 1 的概率是 P＝1 9.(　×　) 1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为(　　) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D．1 答案　B 解析　坐标小于 1 的区间为[0,1]，长度为 1，[0,3]区间长度为 3，故所求概率为1 3. 2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数 x，则事件“－1≤ ≤1”发生的概率 为(　　) A.3 4 B.2 3 C.1 3 D.1 4 答案　A 解析　由－1≤ ≤1，得1 2≤x＋1 2≤2， ∴0≤x≤3 2. ∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P＝ 3 2－0 2－0＝3 4. 3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影 部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　) 答案　A 解析　∵P(A)＝3 8，P(B)＝2 8，P(C)＝2 6，P(D)＝1 3， ∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)． 4．(2017·南昌月考)一个边长为 3 π cm 的正方形薄木板的正中央有一个直径为 2 cm 的圆孔， 一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于 2 cm 的区域内 的概率等于________． 答案　1 2 1 2 1( )2log x + 1 2 1( )2log x + 解析　如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm 为半径作圆， 与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点 的距离都大于 2 cm，其中黑色区域面积为 S1＝S 正方形－4S 扇形－S 小圆＝(3 π)2－π×22－π×12 ＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于 2 cm 的概率为 P＝ S1 9π－π＝4π 8π＝1 2. 5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB＝2，BC＝1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是________． 答案　π 4 解析　设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A， 则 P(A)＝ 阴影面积 长方形面积＝ 1 2π·12 1 × 2＝π 4. 题型一　与长度、角度有关的几何概型 例 1　(1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为(　　) A. 7 10 B.5 8 C.3 8 D. 3 10 (2)(2017·太原调研)在区间[－ π 2，π 2]上随机取一个数 x，则 cos x 的值介于 0 到1 2之间的概率为 ________． 答案　(1)B　(2)1 3 解析　(1)至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40－15 40 ＝5 8，故选 B. (2)当－π 2≤x≤π 2时，由 0≤cos x≤1 2， 得－π 2≤x≤－π 3或π 3≤x≤π 2， 根据几何概型概率公式得所求概率为1 3. (3)如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°，高 AD＝ 3，在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM<1 的概率． 解　因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°. 在 Rt△ABD 中，AD＝ 3，∠B＝60°， 所以 BD＝ AD tan 60°＝1，∠BAD＝30°. 记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD 时事 件 N 发生． 由几何概型的概率公式，得 P(N)＝30° 75°＝2 5. 引申探究 1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于 0 到1 2”改为“cos x 的值介于 0 到 3 2 ”，则概率如何？ 解　当－π 2≤x≤π 2时，由 0≤cos x≤ 3 2 ， 得－π 2≤x≤－π 6或π 6≤x≤π 2， 根据几何概型概率公式得所求概率为2 3. 2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M”改为“在线段 BC 上找一点 M”， 求 BM<1 的概率． 解　依题意知 BC＝BD＋DC＝1＋ 3， P(BM<1)＝ 1 1＋ 3 ＝ 3－1 2 . 思维升华　求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)， 然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度 或角度)． 　(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在 7：00，8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分 钟的概率是(　　) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 (2)已知集合 A＝{x|－1n. 如图，由题意知， 在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m，n)，点 Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线 m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为 P＝1 2. 9．随机地向半圆 00 且2b a ≤1，即 2b≤a. 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 Error!，构成所求事件的区域为三角形部分． 所求概率区间应满足 2b≤a. 由Error!得交点坐标为(16 3 ，8 3)， 故所求事件的概率为 P＝ 1 2 × 8 × 8 3 1 2 × 8 × 8 ＝1 3. *13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是 等可能的．如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停泊时间为 2 h，求它们中的任意一艘都不需要等 待码头空出的概率． 解　设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y，记事件 A 为“两船都不需要等待码头空 出”，则 0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上，即 y－x≥1 或 x－y≥2.故所求事件构成集合 A＝{(x，y)|y－ x≥1 或 x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}． A 为图中阴影部分，全部结果构成集合 Ω 为边长是 24 的正方形及其内部． 所求概率为 P(A)＝A 的面积 Ω 的面积 ＝ (24－1)2 × 1 2＋(24－2)2 × 1 2 242 ＝506.5 576 ＝1 013 1 152.