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- 2021-07-01 发布
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2020年河南省六市高三第一次模拟调研试题理科数学
第Ⅰ卷选择题(共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简得到,,再计算复数模得到答案.
【详解】,故,
故,.
故选:.
【点睛】本题考查了复数的化简,共轭复数,复数模,意在考查学生的计算能力.
2.集合真子集的个数为( )
A. 7 B. 8 C. 31 D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】
计算,再计算真子集个数得到答案.
【详解】,故真子集个数为:.
故选:.
【点睛】本题考查了集合的真子集个数,意在考查学生的计算能力.
- 22 -
3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想,是华夏文明重要组成部分.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素,则2类元素相生的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种,其中2类元素相生的结果有5种,再根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】金、木、水、火、土任取两类,共有:
金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果,
其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果,
所以2类元素相生的概率为,故选A.
【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于基础题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有 (1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先,…. ,再,…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
4.著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,…,满足,,,若,则( )
A. 2020 B. 4038 C. 4039 D. 4040
【答案】D
- 22 -
【解析】
【分析】
计算,代入等式,根据化简得到答案.
【详解】,,,故,
,
故.
故选:.
【点睛】本题考查了斐波那契数列,意在考查学生的计算能力和应用能力.
5.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:
根据该折线图可知,下列说法错误的是( )
A. 该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B. 该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C. 该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D. 该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
【答案】D
【解析】
【分析】
- 22 -
用收入减去支出,求得每月收益,然后对选项逐一分析,由此判断出说法错误的选项.
【详解】用收入减去支出,求得每月收益(万元),如下表所示:
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
收益
20
30
20
10
30
30
60
40
30
30
50
30
所以月收益最高,A选项说法正确;月收益最低,B选项说法正确;月总收益万元,月总收益万元,所以前个月收益低于后六个月收益,C选项说法正确,后个月收益比前个月收益增长万元,所以D选项说法错误.故选D.
【点睛】本小题主要考查图表分析,考查收益的计算方法,属于基础题.
6.设函数,则函数的图像可能为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数排除,再计算排除得到答案.
【详解】定义域为:
,函数为偶函数,排除
,排除
故选
- 22 -
【点睛】本题考查了函数图像,通过函数的单调性,奇偶性,特殊值排除选项是常用的技巧.
7.设,满足约束条件,若最大值为,则的展开式中项的系数为( )
A. 60 B. 80 C. 90 D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到,再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】如图所示:画出可行域和目标函数,
,即,故表示直线与截距的倍,
根据图像知:当时,的最大值为,故.
展开式的通项为:,
取得到项的系数为:.
故选:.
【点睛】本题考查了线性规划求最值,二项式定理,意在考查学生
- 22 -
计算能力和综合应用能力.
8.已知圆锥的高为3,底面半径为,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算求半径为,再计算球体积和圆锥体积,计算得到答案.
【详解】如图所示:设球半径为,则,解得.
故求体积为:,圆锥的体积:,故.
故选:.
【点睛】本题考查了圆锥,球体积,圆锥的外接球问题,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
9.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,直线与抛物线交于,两点,若,则为( )
A. B. 40 C. 16 D.
【答案】D
- 22 -
【解析】
【分析】
如图所示,过分别作于,于,利用和,联立方程组计算得到答案.
【详解】如图所示:过分别作于,于.
,则,
根据得到:,即,
根据得到:,即,
解得,,故.
故选:.
【点睛】本题考查了抛物线中弦长问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.
10.已知为圆:上任意一点,,若线段的垂直平分线交直线于点,则点的轨迹方程为( )
A. B.
- 22 -
C. () D. ()
【答案】B
【解析】
【分析】
如图所示:连接,根据垂直平分线知,,故轨迹为双曲线,计算得到答案.
【详解】如图所示:连接,根据垂直平分线知,
故,故轨迹为双曲线,
,,,故,故轨迹方程为.
故选:.
【点睛】本题考查了轨迹方程,确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.
11.已知是等差数列的前项和,若,设,则数列的前项和取最大值时的值为( )
- 22 -
A. 2020 B. 20l9 C. 2018 D. 2017
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意计算,,,计算,,,得到答案.
【详解】是等差数列的前项和,若,
故,,,,故,
当时,,,,
,
当时,,故前项和最大.
故选:.
【点睛】本题考查了数列和的最值问题,意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
12.方程在区间内的所有解之和等于( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数和的图像,和均关于点中心对称,计算得到答案.
【详解】,验证知不成立,故,
- 22 -
画出函数和的图像,
易知:和均关于点中心对称,图像共有8个交点,
故所有解之和等于.
故选:.
【点睛】本题考查了方程解的问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,确定函数关于点中心对称是解题的关键.
第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量,,若,则________.
【答案】10
【解析】
【分析】
根据垂直得到,代入计算得到答案.
【详解】,则,解得,
故,故.
故答案为:.
【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数,向量模,意在考查学生的计算能力.
- 22 -
14.设函数,则满足的的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
当时,函数单调递增,当时,函数为常数,故需满足,且,解得答案.
【详解】,当时,函数单调递增,当时,函数为常数,
需满足,且,解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
15.六位同学坐在一排,现让六位同学重新坐,恰有两位同学坐自己原来的位置,则不同的坐法有________种(用数字回答).
【答案】135
【解析】
【分析】
根据题意先确定2个人位置不变,共有种选择,再确定4个人坐4个位置,但是不能坐原来的位置,计算得到答案.
【详解】根据题意先确定2个人位置不变,共有种选择.
再确定4个人坐4个位置,但是不能坐原来的位置,共有种选择,
故不同的坐法有.
故答案为:.
【点睛】本题考查了分步乘法原理,意在考查学生的计算能力和应用能力.
16.若方程有两个不等实根,则实数的取值范围是_____________.
【答案】
- 22 -
【解析】
【详解】由知x>0,故.
令,则.
当时,;当时,.
所以在(0,e)上递增,在(e,+)上递减.
故,即.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:60分.
17.如图中,为的中点,,,.
(1)求边的长;
(2)点在边上,若是的角平分线,求的面积.
【答案】(1)10;(2).
【解析】
【分析】
(1)由题意可得cos∠ADB=﹣cos∠ADC,由已知利用余弦定理可得:9+BD2﹣52+9+BD2﹣16=0,进而解得BC的值.(2)由(1)可知△ADC为直角三角形,可求S△ADC6,S△ABC=2S△ADC=12,利用角平分线的性质可得,根据S△ABC=S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值.
【详解】(1)因在边上,所以,
在和中由余弦定理,得,
- 22 -
因为,,,,
所以,所以,.
所以边的长为10.
(2)由(1)知为直角三角形,所以,.
因为是的角平分线,
所以.
所以,所以.
即的面积为.
【点睛】本题主要考查了余弦定理,三角形的面积公式,角平分线的性质在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题.
18.在四棱椎中,四边形为菱形,,,,,,分别为,中点..
(1)求证:;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)证明,得到平面,得到证明.
(2)以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,计算夹角得到答案.
- 22 -
【详解】(1)因为四边形是菱形,且,所以是等边三角形,
又因为是的中点,所以,又因为,,所以,
又,,,所以,
又,,所以平面,所以,
又因为是菱形,,所以,又,
所以平面,所以.
(2)由题意结合菱形的性质易知,,,
以点为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,
设平面的一个法向量为,则:,
据此可得平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,则:,
据此可得平面的一个法向量为,
,
平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【点睛】本题考查了线线垂直,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
- 22 -
19.设椭圆的左右焦点分别为,离心率是,动点在椭圆上运动,当轴时,.
(1)求椭圆的方程;
(2)延长分别交椭圆于点(不重合).设,求的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意直接计算得到,,得到椭圆方程.
(2)不妨设,且,设,代入 数据化简得到
,故,得到答案.
【详解】(1),所以,,化简得,
所以,,所以方程为;
(2)由题意得,不在轴上,不妨设,且,设,
所以由,得,
所以,
- 22 -
由,得,代入,
化简得:,
由于,所以,同理可得,
所以,所以当时,最小为
【点睛】本题考查了椭圆方程,椭圆中的向量运算和最值,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20.已知函数()在定义域内有两个不同的极值点.
(1)求实数的取值范围;
(2)若有两个不同的极值点,,且,若不等式恒成立.求正实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)求导得到有两个不相等实根,令,计算函数单调区间得到值域,得到答案.
(2),是方程的两根,故,化简得到,设函数,讨论范围,计算最值得到答案.
【详解】(1)由题可知有两个不相等的实根,
即:有两个不相等实根,令,
,,
,;,,
- 22 -
故在上单增,在上单减,∴.
又,时,;时,,
∴,即.
(2)由(1)知,,是方程的两根,
∴,则
因为在单减,∴,又,∴
即,两边取对数,并整理得:
对恒成立,
设,,
,
当时,对恒成立,
∴在上单增,故恒成立,符合题意;
当时,,时,
∴在上单减,,不符合题意.
综上,.
【点睛】本题考查了根据极值点求参数,恒成立问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21.某大型公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作的相关要求,决定在全公司范围内举行一次
- 22 -
普查,为此需要抽验1000人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血分别化验,这时需要验1000次.方案②:按个人一组进行随机分组,把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这个人的血只需检验一次(这时认为每个人的血化验次);否则,若呈阳性,则需对这个人的血样再分别进行一次化验,这样,该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为,且这些人之间的试验反应相互独立.
(1)设方案②中,某组个人的每个人的血化验次数为,求的分布列;
(2)设,试比较方案②中,分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数)
【答案】(1)分布列见解析;(2)406.
【解析】
【分析】
(1)计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为,呈阳性反应的概率为,得到分布列.
(2)计算,代入数据计算比较大小得到答案.
【详解】(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为,则.
所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为,呈阳性反应的概率为.
依题意可知,,所以的分布列为:
(2)方案②中.
结合(1)知每个人的平均化验次数为:
- 22 -
时,,此时1000人需要化验的总次数为690次,
时,,此时1000人需要化验的总次数为604次,
时,,此时1000人需要化验的次数总为594次,
即时化验次数最多,时次数居中,时化验次数最少,而采用方案①则需化验1000次,
故在这三种分组情况下,相比方案①,
当时化验次数最多可以平均减少次.
【点睛】本题考查了分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
选修4-4:坐标系与参数方程
22.心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个定点的轨迹,因其形状像心形而得名,在极坐标系中,方程()表示的曲线就是一条心形线,如图,以极轴所在的直线为轴,极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若曲线与相交于、、三点,求线段的长.
【答案】(1)();(2).
【解析】
【分析】
- 22 -
(1)化简得到直线方程为,再利用极坐标公式计算得到答案.
(2)联立方程计算得到,,计算得到答案 .
【详解】(1)由消得,即,
是过原点且倾斜角为的直线,∴的极坐标方程为().
(2)由得,∴,
由得∴,∴.
【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.
选修4-5:不等式选讲
23.已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若的解集包含,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)对范围分类整理得:,分类解不等式即可.
(2)利用已知转化为“当时,”恒成立,利用绝对值不等式的性质可得:,问题得解.
- 22 -
【详解】当时,,
当时,由得,解得;
当时,无解;
当时,由得,解得,
所以的解集为
(2)的解集包含等价于在上恒成立,
当时,等价于恒成立,
而,∴,
故满足条件的的取值范围是
【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法,还考查了转化能力及绝对值不等式的性质,考查计算能力,属于中档题.
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