2020高中数学 第一章 解三角形 1 8页

- 1 - 第 3 课时　三角形中的几何计算 学习目标：1.掌握三角形的面积公式的应用(重点).2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的 综合应用(难点)． [自 主 预 习·探 新 知] 1．三角形的面积公式 (1)S＝ 1 2a·ha＝ 1 2b·hb＝ 1 2c·hc(ha，hb，hc 分别表示 a，b，c 边上的高)； (2)S＝ 1 2absin C＝ 1 2bcsin_A＝ 1 2casin_B； (3)S＝ 1 2(a＋b＋c)·r(r 为内切圆半径)． 思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？ (2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？ [提示]　(1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦 定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解． 2．三角形中常用的结论 (1)A＋B＝π－C， A＋B 2 ＝ π 2 － C 2； (2)在三角形中大边对大角，反之亦然； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形的诱导公式 sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C， tan(A＋B)＝－tan_C(C ≠ π 2 )， sin A＋B 2 ＝cos C 2， cos A＋B 2 ＝sin C 2. [基础自测] 1．思考辨析 (1)公式 S＝ 1 2absin C 适合求任意三角形的面积．(　　) (2)三角形中已知三边无法求其面积．(　　) (3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　 提示：已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错． 2．下列说法中正确的是________(填序号)． - 2 - (1)已知三角形的三边长为 a，b，c，内切圆的半径为 r，则三角形的面积 S＝(a＋b＋c)r； (2)在△ABC 中，若 c＝b＝2，S△ABC＝ 3，则 A＝60°； (3)在△ABC 中，若 a＝6，b＝4，C＝30°，则 S△ABC 的面积是 6； (4)在△ABC 中，若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B. 【导学号：91432075】 (3)　[(1)中三角形的面积 S＝ 1 2(a＋b＋c)r. (2)由 S＝ 1 2bcsin A 可得 sin A＝ 3 2 ，∴A＝60°或 120°. (4)在△ABC 中由 sin 2A＝sin 2B 得 A＝B 或 A＋B＝ π 2 .] 3．在△ABC 中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC 的面积________． 9 3　[由题知 A＝180°－120°－30°＝30°，由 a sin A＝ b sin B知 b＝6，∴S＝ 1 2absin C ＝18× 3 2 ＝9 3.] 4 ． 在 △ABC 中 ，ab＝ 60 ，S△ABC ＝ 15 3， △ABC 的 外 接 圆 半 径 为 3， 则 边 c 的 长 为 ________. 【导学号：91432076】 3　[由题知 S△ABC＝ 1 2absin C＝15 3得 sin C＝ 3 2 . 又由 c sin C＝2R 得 c＝2 3× 3 2 ＝3.] [合 作 探 究·攻 重 难] 三角形面积的计算 　在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，B＝ π 3 ，cos A＝ 4 5，b＝ 3. (1)求 sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． [解]　(1)∵角 A，B，C 为△ABC 的内角， 且 B＝ π 3 ，cos A＝ 4 5， ∴C＝ 2π 3 －A，sin A＝ 3 5. ∴sin C＝sin(2π 3 －A)＝ 3 2 cos A＋ 1 2sin A＝ 3＋4 3 10 . - 3 - (2)由(1)知 sin A＝ 3 5，sin C＝ 3＋4 3 10 . 又∵B＝ π 3 ，b＝ 3， ∴在△ABC 中，由正弦定理得 a＝ bsin A sin B ＝ 6 5. ∴△ABC 的面积 S＝ 1 2absin C＝ 1 2× 6 5× 3× 3＋4 3 10 ＝ 36＋9 3 50 . [规律方法]　 1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形 的面积已知，常选择已知的那个面积公式． 2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再 套用公式计算． [跟踪训练] 1．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋ c2－a2＝8，求△ABC 的面积． [解]　由 bsin C＋csin B＝4asin Bsin C 得 sinBsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C， 因为 sin Bsin C≠0，所以 sin A＝ 1 2.因为 b2＋c2－a2＝8，cos A＝ b2＋c2－a2 2bc ，所以 bc＝ 8 3 3 ， 所以 S△ABC＝ 1 2bcsin A＝ 1 2× 8 3 3 × 1 2＝ 2 3 3 . 三角恒等式证明问题 　在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 证明： a2－b2 c2 ＝ sinA－B sin C . 思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开． [证明]　法一：(边化角)由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， ∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B， 整理得： a2－b2 c2 ＝ acos B－bcos A c . 依正弦定理有 a c＝ sin A sin C， b c＝ sin B sin C， ∴ a2－b2 c2 ＝ sin Acos B－sin Bcos A sin C ＝ sinA－B sin C . - 4 - 法二：( 角化边) sinA－B sin C ＝ sin AcosB－cos Asin B sin C ＝ a· a2＋c2－b2 2ac － b2＋c2－a2 2bc ·b c ＝ 2a2－b2 2c2 ＝ a2－b2 c2 . [规律方法]　 1．三角恒等式证明的三个基本原则： (1)统一边角关系． (2)由繁推简． (3)目标明确，等价转化． 2．三角恒等式证明的基本途径： (1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形． (2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变 形． [跟踪训练] 2．在△ABC 中，求证： cos B cos C＝ c－bcos A b－ccos A. 【导学号：91432078】 [证明]　由正弦定理得右边 ＝ 2Rsin C－2Rsin Bcos A 2Rsin B－2Rsin Ccos A＝ sinA＋B－sin Bcos A sinA＋C－sin Ccos A＝ sin Acos B＋cos Asin B－sin Bcos A sin Acos C＋cos Asin C－sin Ccos A＝ sin AcosB sin Acos C＝ cos B cos C＝左边． ∴原等式成立． 解三角形中的综合问题 [探究问题] 1.如图 1­2­35 所示，图中共有几个三角形？线段 AD 分别是哪些三角形的边，∠B 是哪些三 角形的内角？ 图 1­2­35 提示：在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线段 AD 是△ADC 与△ABD 的公共边，∠B 既是△ABC 的内角，又是△ABD 的内角． 2．在探究 1 中，若 sin B＝sin ∠ADB，则△ABD 是什么形状的三角形？在此条件下若已知 AB - 5 - ＝m，DC＝n，如何求出 AC? 提示：若 sin B＝sin ∠ADB，则△ABD 为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD 中先求出 AD，然后利用余弦定理在△ADC 中求出 AC，也可以在△ABD 中先求出 BD，然后在△ABC 中，利用 余弦定理求出 AC. 　在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A＝ π 4 ，bsin(π 4 ＋C)－csin(π 4 ＋B) ＝a. (1)求证：B－C＝ π 2 ； (2)若 a＝ 2，求△ABC 的面积. 【导学号：91432079】 思路探究：(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证． (2)结合第(1)问可直接求出 B，C，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出 b，c 的大小 关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解． [解]　(1)证明：由 bsin(π 4 ＋C)－csin(π 4 ＋B)＝a，应用正弦定理， 得 sin Bsin(π 4 ＋C)－sin Csin(π 4 ＋B)＝sin A， 所以 sin B( 2 2 sin C＋ 2 2 cos C)－sin C 2 2 sin B＋ 2 2 cos B＝ 2 2 ， 整理得 sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即 sin(B－C)＝1， 因为 0