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- 2021-07-02 发布
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第8章 函数应用
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
函数的零点与方程的根的关系及应用
根据函数零点的定义,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有根,有几个根.从图形上说,函数的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系,利用它们之间的关系,可以解决很多函数、方程与不等式的问题.
从高考题型上看,这类题目,既有选择题,也可以出现解答题,解题时应注意通过数与形的相互结合,将三者进行相互转化.
【例1】 (1)函数f(x)=log3 [log2(4-2x)]的零点为________.
(2)函数g(x)=lg x与f(x)=x2-6x+9的图象的交点个数为_____,设最右侧交点的横坐标x0,则存在n0∈N*,使x0∈(n0,n0+1),则n0=________.
[思路点拨] (1)可通过解方程来求零点.
(2)通过图象和零点存在性定理来解.
(1)1 (2)2 3 [(1)f(x)=0时,log3[log2(4-2x)]=0,则log2(4-2x)=1,∴4-2x=2,∴2x=2,∴x=1.
(2)在同一个坐标系中做出f(x)和g(x)的图象,如图,易知交点个数有2个,设h(x)=g(x)-f(x),∵h(2)=lg 2-1<0,h(3)=lg 3>0,h(4)=lg 4-1<0,x0为最右侧交点,故x0∈(3,4),∴n0=3.]
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判断函数的零点个数的三种方法
(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图形法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
1.已知关于x的函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1恒有零点.
(1)求m的取值范围;
(2)若函数有两个不同零点,且其倒数之和为-4,求m的值.
[解] (1)当m+6=0,即m=-6时,函数为y=-14x-5,显然有零点.
当m+6≠0时,由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)
=-36m-20≥0,得m≤-.
∴当m≤-且m≠-6时,二次函数有零点.
综上所述,m≤-.
(2)设x1,x2是函数的两个零点,则有
x1+x2=-,x1x2=.
∵+=-4,即=-4,
∴-=-4,解得m=-3.
且当m=-3时,m+6≠0,Δ>0符合题意,
∴m的值为-3.
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函数的零点的应用
求与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强,解决此类问题的一般思路就是通过分离参数简化问题求解,即先分离参数.
【例2】 若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是________.
[思路点拨] 由函数在指定区间有零点,转化为相应方程有实数根,分离参数转化为求值域问题.
[因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,
所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.
方程a=4x-2x可变形为a=-,
因为x∈[-1,1],所以2x∈,所以-∈.
所以实数a的取值范围是.]
1.函数在指定区间上有零点通常转化为相应方程有解问题,能分参就优先分离参数,转化为求值域问题.
2.涉及已知函数零点的个数求参数的取值范围问题,经常转化为相关的函数图象的交点的个数问题,通过数与形的结合,求出参数的取值范围.
2.已知函数f(x)=-x2-2x, g(x)=
(1)求g(f(1))的值;
(2)若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.
[解] (1)g[f(1)]=g(-3)=-3+1=-2.
(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)上有2个不同的解,
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则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象,如图,由图象可知,当1≤a<时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是.
构建函数模型解决实际问题
【例3】 小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)=x2+x(万元).在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+-38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
[解] (1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,
依题意得,当064时,要使y∈[4,10],则40≤x≤100,所以64
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