2020高中数学 第一章 三角函数 1 7页

第1课时　公式二、公式三和公式四 学习目标：1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法.2.能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)3.掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．公式二 ‎(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图131所示．‎ 图131‎ ‎(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，‎ cos(π＋α)＝－cos_α，‎ tan(π＋α)＝tan_α.‎ ‎2．公式三 ‎(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图132所示．‎ 图132‎ ‎(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，‎ cos(－α)＝cos_α，‎ tan(－α)＝－tan_α.‎ ‎3．公式四 ‎(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图133所示．‎ 图133‎ ‎(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，‎ cos(π－α)＝－cos_α，‎ tan(π－α)＝－tan_α.‎ 思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？‎ 7‎ ‎(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？‎ ‎[提示]　(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.‎ ‎(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)公式二～四对任意角α都成立．(　　)‎ ‎(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．(　　)‎ ‎(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋，k∈Z.‎ ‎(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，‎ 故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．‎ ‎(3)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，‎ 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝________.‎ ‎3　[tan(π＋α)＝tan α＝3.]‎ ‎3．求值：(1)sin＝________.‎ ‎(2)cos＝________.‎ ‎(1)　(2)－　[(1)sin＝sin＝sin＝.‎ ‎(2)cos＝cos＝cos＝－cos＝－.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 给角求值问题 ‎　求下列各三角函数值：‎ ‎(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°). ‎ ‎ [解]　(1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.‎ 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)‎ 7‎ ‎＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.‎ ‎(2)法一：cos＝cos ‎＝cos＝cos＝－cos＝－.‎ 法二：cos＝cos ‎＝cos＝－cos＝－.‎ ‎(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)‎ ‎＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.‎ ‎[规律方法]　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化；‎ (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；‎ (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；‎ (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．计算：(1)cos＋cos＋cos＋cos；‎ ‎(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．‎ ‎[解]　(1)原式＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋＝0.‎ ‎(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]‎ ‎＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)‎ ‎＝sin 66°－sin 66°＝0.‎ 给值(式)求值问题 ‎　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)‎ 7‎ A.　　　　　　　　 B. C. D．－ ‎(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值. ‎ ‎ [思路探究]　(1) ‎→ ‎(2)→‎ → ‎(1)A　[(1)sin(α－360°)－cos(180°－α)‎ ‎＝sin α＋cos α＝m，‎ sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α ‎＝＝.]‎ ‎(2)∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，‎ ‎∴sin(α－75°)＝－ ‎＝－＝－，‎ ‎∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]‎ ‎＝－sin(α－75°)＝.‎ 母题探究：1.例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．‎ ‎[解]　cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]‎ ‎＝－cos(α－75°)＝.‎ ‎2．将例2(2)的条件“cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－‎5”‎，其他条件不变，结果又如何？‎ ‎[解]　因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，‎ 所以α－75°是第四象限角．‎ 由 解得或 (舍)‎ 所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]‎ ‎＝－sin(α－75°)＝.‎ 7‎ ‎[规律方法]　解决条件求值问题的两技巧 (1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.‎ (2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.‎ 提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.‎ 利用诱导公式化简问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？‎ 提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．‎ 当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；‎ 当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.‎ ‎2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？‎ 提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中k∈Z)‎ ‎　设k为整数，化简：‎ .‎ ‎[思路探究]　本题常用的解决方法有两种：‎ ‎①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．‎ ‎[解]　法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝‎2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1；‎ 当k为奇数时，设k＝‎2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.‎ 法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，‎ sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．‎ 所以原式＝＝－1.‎ ‎[规律方法]　三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.‎ ‎②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.‎ (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.‎ 7‎ 提醒：注意分类讨论思想的应用.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．化简：(1)；‎ ‎(2). ‎ ‎ [解]　(1)原式＝＝＝－tan α.‎ ‎(2)原式 ‎＝ ‎＝ ‎＝＝－1.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．tan等于(　　)‎ A．－　　　　　　　 B． C．－ D． C　[tan＝tan＝tan ‎＝tan＝－tan＝－.]‎ ‎2．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是(　　)‎ ‎①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β.‎ A．1　　　　 B．2 ‎ C．3　　　　 D．4‎ C　[因为α＋β＝π，所以sin α＝sin(π－β)＝sin β，‎ 故①正确，②错误；‎ cos α＝cos(π－β)＝－cos β，‎ 故③正确，④错误；‎ tan α＝tan(π－β)＝－tan β，⑤正确．故选C.]‎ 7‎ ‎3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　) ‎ A． B．－ C．± D． B　[因为sin(π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－.‎ 又α是第四象限角，所以cos α＝，‎ 所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.]‎ ‎4．的值等于________．‎ －2　[原式＝ ‎＝ ‎＝＝＝－2.]‎ ‎5．化简(1)；‎ ‎(2). ‎ ‎ [解]　(1) ‎＝ ‎＝＝－cos2α.‎ ‎(2) ‎＝＝－cos α.‎ 7‎